不相交集合的数据结构

news2024/9/21 16:45:02

一、不相交集合的操作

不相交集合的数据结构维护了一组不相交动态集的集合 $S=\left \{ S1,S2,S3.......\right \}$ ，用集合中的某个成员作为代表标识集合。

集合在没有修改的情况下每次访问代表得到的答案是相同的，此外在其它一些应用中，可能按照规定选择集合的代表，例如选择每个集合中关键字最小的元素作为代表。

设 x 为一个对象，对不相交集合数据结构的操作：

1.MAKE-SET(x)：建立一个新集合，唯一元素就是 x ，由于各个集合是不相交的，x 不会出现在其他的集合中

2.FIND-SET(x)：返回一个指针，指向包含 x (唯一)的集合代表如果已经有指针指向 x ，无需再在数据结构中搜索 x

3.UNION(x,y)：将包含 x 和 y 的两个动态集合（表示为 Sx 和 Sｙ）合并成一个新的集合，即两个集合的并集。并集中的任何一个元素都可以作为代表（通常实现为 Sx 或 Sy 元素的代表）。由于要求各个元素不相交，合并后需要删除 Sx 和 Sy 集合，通常将一个集合并入另一个集合作为删除操作。 当共有ｎ个元素时，最多执行 n-1 次UNION操作。

不相交集合的应用——确定无向图的连通分量

在开始时，需要通过 MAKE-SET(v) 操作将每个节点 v 都放入子集的集合中，再对处理的边(u,v)将包含 u 和 v 的集合合并（前提是两个集合本身不相交，即集合代表不相同）。

判断两个节点是否在同一个集合中，即所属集合的集合代表不相同

FIND-SET(x) ! = FIND-SET(y)

Edge processed：对两点之间边处理顺序

二、不相交集合的链表表示

1.相关概念

每个集合用一个链表来表示，链表的第一个节点就是代表，每个集合对象 set 包含 head 指针和 tail 指针，分别指向链表中的第一个节点和最后一个节点。

链表中的每个节点都包含一个集合成员（元素），指向链表中下一个节点的指针，指回到集合对象的指针

2.不相交集合的链表操作

① MAKE-SET(x) ：

创建一个只有 x 节点的新的链表时间开销 O(1)

② FIND-SET (x)：

沿着 x 对象的返回指针返回到集合对象，然后返回 head 指针指向的节点。时间开销 O(1)

③ UNION(x,y)：

1.将包含 y 的链表添加到包含 x 的链表

2.将包含 x 的链表的代表作为 y 中节点的代表

3.更新包含 y 链表中各个元素的代表指针 包含 n 个操作的序列可能会花费 $O(n^{2})$ 时间

合并的简单实现：

将长链表插入到短链表之中总开销是 $O(n^{2})$ 平均开销是Θ(n)

3.一种加权合并的启发式策略

将链表的长度作为权值并维护链表长度，合并时将短的链表拼接到长的链表末尾，

定理：使用不相交集合的链表表示和加权合并的启发式策略，一个具有 m 个 MAKE-SET FIND-SET 和 UNION 操作的序列（其中 n 个为 MAKE-SET操作），需要的时间为 $O(m+nlogn)$

三、不相交集合森林

在不相交集合实现中，使用有根树来表示集合，树中的每个节点包含一个成员，每棵树代表一个集合。在不相交集合森林中，每个成员仅指向他的父节点（根节点指向其自己），并且每棵树的根是集合的代表。

1.不相交集合森林的操作

①MAKE-SET ：建立一个包含节点 x 的新树，并且其的父节点指向自己（根节点）

void MAKE-SET(int x)
{
    x.p=x;
    x.rank=0;
    return ;
}

②FIND-SET(x) ：返回 x 所在树的集合代表（根节点）。

FIND-SET(x) 用于鉴定集合是否包含元素 x

FIND-SET (x) 和 FIND-SET (y) 返回相同的值，当且仅当元素 x 和 y 同属一个集合

int FIND-SET (int x)
{ 
    if (x≠x.p)    // x不是根 
        x.p=FIND-SET(x.p);
    return x.p;
}

③ UNION(x,y) ：合并包含 x 和 y 的集合的树

若两棵树的根的秩不相同，则将具有较小秩的根点的父指针指向具有较大秩的根结点；

若两棵树的根的秩相同，则任意选择两个根中的一个作为父结点，并将它的秩加一。

一颗二项树的节点的秩（rank）等于它的儿子节点的个数，

void UNION (int x,int y)
{ 
    LINK(FIND-SET(x), FIND-SET(y)); 
}
void LINK(int x,int y)
{
    if(x.rank>y.rank)
       y.p=x;
    else x.p=y;
   if(x.rank==y.rank)
      y.rank=y.rank+1;
    return ;
}

④ 节点数据结构

使用包含两个字段的结点: element and parent

使用数组 table[] ，其中 table[x] 是一个指向元素 x 的指针为了执行 FIND-SET (x) 操作, 从 table[i] 标明的结点开始，顺着parent 字段，直到找到结点，使得 parent 字段值为 null 返回根节点的 element