本文为博客：动态规划解题套路框架 | labuladong 的算法笔记 的笔记

前言

动态规划问题的一般形式就是求最值，求解动态规划的核心问题是穷举。动态规划三要素为：最优子结构、重叠子问题、状态转移方程。首先要判断，该问题是否具有重复子问题，如果有则可以用动态规划求解。动态规划问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会很低，所以需要你使用「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程；动态规划只有列出正确的「状态转移方程」，才能正确地穷举。

理解重复子问题：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number/description/

递归算法的时间复杂度怎么计算？就是用子问题个数乘以解决一个子问题需要的时间。

暴力求解（注意树的形状）

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会存在很多计算重复的情况，这也是为什么不采用备忘录会导致效率低下，时间复杂度为O()，因为子问题个数为，解决一个子问题需要的时间（加法）为1。

带备忘录的递归解法（注意树的剪枝）

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最后就剩类似红色方框的形状：

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时间复杂度为O(n)，因为子问题个数为n，解决一个子问题需要的时间（加法）为1。

dp 数组的迭代（递推）解法

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理解状态转移方程：动态规划解题套路框架 | labuladong 的算法笔记

暴力求解

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if(amount==0){return 0;}
        if(amount<0){return -1;}
        int ans=INT_MAX;
        for(int i:coins){
            int temp=coinChange(coins,amount-i);
            if(temp==-1){continue;}
            ans=min(ans,temp+1);
        }
        if(ans==INT_MAX){
            return -1;
        }
        else{return ans;}
    }
};

直接超时：

带备忘录的递归

class Solution {
public:
    unordered_map<int,int> hmap;
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        if(amount==0){return 0;}
        if(amount<0){return -1;}
        if(hmap.find(amount)!=hmap.end()){
            return hmap[amount];
        }
        int ans=INT_MAX;
        for(int i:coins){
            int temp;
            if(hmap.find(amount-i)!=hmap.end()){
                temp=hmap[amount-i];
            }
            else{
                temp=coinChange(coins,amount-i);
                if(temp==-1){continue;}
                else{hmap[amount-i]=temp;}
            }
            ans=min(ans,temp+1);
        }
        if(ans==INT_MAX){
            return -1;
        }
        else{return ans;}
    }
};

但是！

dp 数组的迭代解法

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> g(10010,amount+1);
        g[0]=0;
        for(int i=1;i<=amount;i++){
            for(auto j:coins){
                if(i-j>=0){
                    g[i]=min(g[i],g[i-j]+1);
                }
            }
        }
        if(g[amount]>amount){return -1;}
        return g[amount];
    }
};