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  • • 问题描述
    • 随机选择算法
    • • Python实现
      • 时间复杂性
    • BFPRT算法
    • • 时间复杂性
      • Python实现

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系列专栏：分治算法

学习指南：Python学习指南

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问题描述

• 给定线性序集中$n$个元素和一个整数$k(1\le k\le n)$，找出这$n$个元素中第$k$小的元素

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随机选择算法

Python实现

import random


def partition(nums, low, high):
    pivot_index = random.randint(low, high)
    pivot = nums[pivot_index]

    # 将 pivot 元素移动到列表的最右边
    nums[pivot_index], nums[high] = nums[high], nums[pivot_index]

    # 通过交换操作, 将小于 pivot 的元素移动到左边, 大于 pivot 的元素移动到右边
    i = low
    for j in range(low, high):
        if nums[j] < pivot:
            nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]

            i += 1

    # 将 pivot 元素放置到正确的位置
    nums[i], nums[high] = nums[high], nums[i]

    return i


def quick_select(nums, low, high, k):
    if low == high:
        return nums[low]

    # 划分数组, 并获取 pivot 元素的索引
    pivot_index = partition(nums, low, high)

    j = pivot_index - low + 1

    if j == k:
        # 如果 pivot 元素的索引等于 k, 则返回该元素
        return nums[pivot_index]
    elif j > k:
        # 如果 pivot 元素的索引大于 k, 则在左侧继续查找
        return quick_select(nums, low, pivot_index - 1, k)
    else:
        # 如果 pivot 元素的索引小于 k, 则在右侧继续查找
        return quick_select(nums, pivot_index + 1, high, k - j)


def find_kth_smallest(nums, k):
    if k < 1 or k > len(nums):
        raise ValueError('Invalid value of k')

    return quick_select(nums, 0, len(nums) - 1, k)


nums = [3, 1, 5, 2, 4]
k = 2

res = find_kth_smallest(nums, k)

print(f'第 {k} 小的元素为 {res}')

第 2 小的元素为 2

时间复杂性

• 随机选择算法在最坏情况下需要$\Omega (n^2)$时间，平均情况下需要$O(n)$时间

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BFPRT算法

• 如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准划分出的两个子数组的长度都至少为原数组长度的$\epsilon$倍（$0<\epsilon <1$是某个常数），那么在最坏情况下用$O(n)$时间就可以完成选择任务

  • 例如，若$\epsilon =9/10$，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短$1/10$，所以在最坏情况下，算法所需的计算时间$T(n)$满足递归式$T(n)\le T(9n/10)+O(n)$，由此可得$T(n)=O(n)$

• 将$n$个输入元素划分成$\lceil n/5\rceil$个组，每组$5$个元素（除可能有一个组不是$5$个元素外），用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共$\lceil n/5\rceil$个

• 递归调用找出这$\lceil n/5\rceil$个元素的中位数，如果$\lceil n/5\rceil$是偶数，就找它的两个中位数中较大的一个，然后以这个元素作为划分基准

• 设所有元素互不相同，找出的基准$x$至少比$3\lfloor (n-5)/10\rfloor$个元素大，至少比$3\lfloor (n-5)/10\rfloor$个元素小，当$n\ge 75$时，$3\lfloor (n-5)/10\rfloor \ge n/4$，所以按此基准划分所得的两个子数组的长度都至少缩短$1/4$

时间复杂性

• 设对$n$个元素的数组调用算法需要$T(n)$时间
• 找中位数$x$最多用$T(n/5)$时间
• 按照算法所选的基准$x$进行划分所得的两个子数组分别最多有$3n/4$个元素，无论对哪一个子数组调用算法都最多用$T(3n/4)$时间

$$T(n)\le \{\begin{array}{ll}{C}_1,& n<75\\ C_{2}n+T(n/5)+T(3n/4),& n\ge 75\end{array}$$

$$T(n)=O(n)$$

Python实现

import statistics


def find_median_of_medians(arr):
    # 将数组划分为大小为 5 的子数组
    subarrays = [arr[i:i + 5] for i in range(0, len(arr), 5)]

    # 计算每个子数组的中位数
    medians = [statistics.median(subarray) for subarray in subarrays]

    # 如果元素数量小于等于 5, 直接返回中位数
    if len(medians) <= 5:
        return statistics.median(medians)

    # 递归调用中位数的中位数算法
    return find_median_of_medians(medians)


def linear_time_select(arr, k):
    # 找到中位数的中位数
    median_of_medians = find_median_of_medians(arr)

    # 将数组划分为三个部分
    less = [x for x in arr if x < median_of_medians]
    equal = [x for x in arr if x == median_of_medians]
    greater = [x for x in arr if x > median_of_medians]

    # 根据划分后的数组长度选择下一步操作
    if k <= len(less):
        # 在较小的部分递归查找第 k 小元素
        return linear_time_select(less, k)
    elif k <= len(less) + len(equal):
        # 第 k 小元素等于中位数的中位数
        return median_of_medians
    else:
        # 在较大的部分递归查找第 k 小元素
        return linear_time_select(greater, k - len(less) - len(equal))


arr = [3, 1, 5, 2, 4, 9, 7, 8, 6]
k = 5

res = linear_time_select(arr, k)

print(f'第 {k} 小的元素为 {res}')

第 5 小的元素为 5

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