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前言

本章带来数据结构重点树相关的概念，同时和之前的线性结构完全不同，树是非线性结构

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1、树的概念

1.1 树的基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它
叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集
  合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以
  有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的
  

子树是不相交的，相交如下图，这个结构就不是树了，因为里面有回路，类似与图结构

1.2 树的主要概念

关键：

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为3
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：J、F、K、L、H、I是叶子结点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：B、C、D、E…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B
  的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C、D是兄弟
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  另一种情况，根为0层，根的子节点为第1层
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先，父亲也是祖先结点
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

其次：

• 森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是一个森林）

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1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，
如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。

• 第一种：孩子兄弟表示法，最常用的的树表示方法

  typedef int DataType;
  struct Node
  {
      struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
      struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
      DataType _data;               // 结点中的数据域
  };
  

  
  
  

• 第二种：双亲表示法，把所有的节点都存在数组里，通过子节点存父节点的数组下标来表示，注意不是父节点存下标，就是一个节点只指向父亲，不指向孩子
  
  
  

• 第三种：通过顺序表来存储，但是我们并不知道到底有多少个子节点，这里C++里面库里vector可以解决，vector是可变的不固定数组
  
  

1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

2. 二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子
树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。
   
   
   

2.2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉
   树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2 ^ k) - 1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：前k-1层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左往右节点都是连续的，节点个数(2 ^ k - 1 - X),X表示最后一层缺的数量

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i - 1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2
   ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN，以2为底
5. 度为1的结点一定是左子树；
   度要么为1，要么为0
6. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从开始编号: 那么就会有：（对于编程的写法，这个规律是成立的）

• 左孩子结点的下标：2*parent +1;
• 右孩子结点的下标：2*parent +2;
• 父亲结点的下标：(child -1) / 2; 其中child为左右孩子都行。

3. 二叉树性质相关选择题练习

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199


2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2



3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12

4. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

4. 答案和解析

1. 通过二叉树性质，度为0的节点比度为2的节点多一个，n0 = n2 + 1，反之n2 = n0 - 1，题中所直接就说明了分支节点的n2的个数，我们一直代入公式即可，199+1 = 200，选B。

2. n0表示叶子结点，在完全二叉树里，n1只可能是0或1我们分别往n1代入0和1

• 代入0：结果有小数，二叉树节点只能整数，不可能会有小数、分数个节点，所以不成立
• 代入1：成立，可以化简，最后结果n0 = N，同时也证明该二叉树n1结点个数是1，选A

3. 第三题解析如图，选B
   
   
   
4. 这题和第二题解法类似，n0表示叶子结点，在完全二叉树里，n1只可能是0或1我们分别往n1代入0和1

• 代入0：成立，可以化简，最后结果n0 = 384，同时也证明该二叉树n1结点个数是0，选B
• 代入1：结果有小数，二叉树节点只能是整数，不可能会有小数、分数个节点，所以不成立

5. 总结

学好二叉树第一步，就必须对该性质十分熟练和深刻的理解！