【状态压缩动态规划数论】1799. N 次操作后的最大分数和

news2024/11/24 18:40:31

本文涉及知识点

状态压缩动态规划数论
动态规划汇总

LeetCode1799. N 次操作后的最大分数和

给你 nums ，它是一个大小为 2 * n 的正整数数组。你必须对这个数组执行 n 次操作。
在第 i 次操作时（操作编号从 1 开始），你需要：
选择两个元素 x 和 y 。
获得分数 i * gcd(x, y) 。
将 x 和 y 从 nums 中删除。
请你返回 n 次操作后你能获得的分数和最大为多少。
函数 gcd(x, y) 是 x 和 y 的最大公约数。

示例 1：
输入：nums = [1,2]
输出：1
解释：最优操作是：
(1 * gcd(1, 2)) = 1
示例 2：
输入：nums = [3,4,6,8]
输出：11
解释：最优操作是：
(1 * gcd(3, 6)) + (2 * gcd(4, 8)) = 3 + 8 = 11
示例 3：
输入：nums = [1,2,3,4,5,6]
输出：14
解释：最优操作是：
(1 * gcd(1, 5)) + (2 * gcd(2, 4)) + (3 * gcd(3, 6)) = 1 + 4 + 9 = 14
提示：
1 <= n <= 7
nums.length == 2 * n
1 <= nums[i] <= 10⁶

动态规划

动态规划的状态表示

pre[mask] 表示，操作i-1次后，已经选取的数据状态为mask的最大分数和。mask的第i位为1，表示第i个数已经操作；为0，表示没有操作。
dp[mask]表示，操作i次后的最大得分。
空间复杂度😮(1 ^ 2n^)

动态规划的状态转移方程

对于任意一种前置状态iPre，枚举操作的两个数下标j1,j2。j1 < j2。且mask中不包括j1,j2。
MaxSelf(dp[(1<<j1)|(1<<j2)|mask],pre[iPre]+i*gcd(nums[j1],nums[j2])

动态规划的初值

dp[0]=0，其它为10^-7，不需要判断是否非法状态。或 -1，可能需要判断非法状态，实验了一下，也不需要判断非法状态。
判断非法状态，可以大幅提升运行速度，大约+400%。

动态规划返回值

pre.back()

动态规划的填表顺序

操作次数从小到，mask从到大，j1,j2从小到大。

代码

template<class ELE>
void MaxSelf(ELE* seft, const ELE& other)
{
	*seft = max(*seft, other);
}

class Solution {
public:
	int maxScore(vector<int>& nums) {
		const int n2 = nums.size();
		const int iMaskCount = 1 << n2;
		vector<int> vPre(iMaskCount,-1);
		vPre[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= n2 / 2; i++) {
			vector<int> dp(iMaskCount, -1);
			for (int iPre = 0; iPre < iMaskCount; iPre++) {
				
				for (int j1 = 0; j1 < n2; j1++) {
					for (int j2 = j1 + 1; j2 < n2; j2++) {
						const int iAddMask = (1 << j1) | (1 << j2);
						if (iPre & iAddMask) { continue; }
						MaxSelf(&dp[iPre | iAddMask], vPre[iPre] + i * gcd(nums[j1], nums[j2]));
					}
				}
			}
			vPre.swap(dp);
		}
		return vPre.back();
	}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		assert(v1[i] == v2[i]);
	}
}

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

int main()
{
	vector<int> nums;
	{
		Solution slu;
		nums = { 1, 2 };
		auto res = slu.maxScore(nums);
		Assert(1, res);
	}
	{
		Solution slu;
		nums = { 3,4,6,8 };
		auto res = slu.maxScore(nums);
		Assert(11, res);
	}
	{
		Solution slu;
		nums = { 1,2,3,4,5,6 };
		auto res = slu.maxScore(nums);
		Assert(14, res);
	}
}

扩展阅读

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