【问题描述】

  古希腊数学家毕达哥拉斯在自然数研究中发现，220的所有真约数（即不是自身 的约数）之和为： 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。而284的所有真约数为1、2、4、71、142，加起来恰好为220。人 们对这样的数感到很惊奇，并称之为亲和数。一般地讲，如果两个数中任何一个数都是另一个数的真约数 之和，则这两个数就是亲和数。

  220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。第二对亲和数(17296，18416)直到2000多年后的1636年才由法国数学家费马发现。1638年，法国数学家笛 卡儿发现了第三对亲和数，而大数学家欧拉在1747年一下子给出了30对亲和数， 1750年又增加到60对。到目前为止，人类已经发现了近千对亲和数。然而，令人惊 奇的是，第二对最小的亲和数(1184，1210)竟然被数学家们遗漏了，直到1886年才 由意大利的一位16岁男孩发现。

  这里不要求你找到一对亲和数，而是对于每个正整数n，求出这个数的真约数之和。

  比如，n=220，答案是284，如果n=284，答案是220。

  【输入形式】

  有多组测试数据，每组测试数据一行，是一个正整数n， n=0意味着输入结束并且不需要处理。

  40%的测试数据1 ≤ n≤ 10(3)；30%的测试数据1 ≤ n≤ 10(4)；

  20%的测试数据1 ≤ n≤ 10(5)；10%的测试数据1 ≤ n≤ 10(6)；

  【输出形式】

  对于每组测试数据，输出一行，包含一个正整数，表示n的真约数之和。

  【样例输入】

220
284
0

  【样例输出】

284
220

解题思路

问题关键：如何高效地找到一个数的所有真约数之和。一个直观的方法是遍历从1到n-1的所有数，检查它们是否是n的约数，并计算它们的和。然而，这种方法在n非常大时会非常慢。更高效的方法是只遍历到，因为大于的约数可以通过n / 约数 得到。这样可以显著减少计算量。

1. 对于每个输入的正整数n，初始化一个变量sum来存储真约数之和，初始值为1（因为1是所有正整数的真约数）。

2. 从2遍历到，对于每个i，检查它是否是n的约数。

   1. 如果i是n的约数，检查i是否等于 n / i（即检查是否是平方根）。

      • 如果是，只加i到sum（因为在这种情况下，i和 n / i实际上是同一个数）。

      • 如果不是，将 i 和 n / i 都加到sum。

3. 特别注意，如果n为1，其真约数之和应为0，因为1没有真约数。

4. 输出sum。

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        while (true) {
            int n = scanner.nextInt();
            if (n == 0) break; // 输入结束
            System.out.println(sumOfDivisors(n));
        }
        scanner.close();
    }

    // 计算并返回n的真约数之和
    private static int sumOfDivisors(int n) {
        if (n == 1) return 0; // 1没有真约数
        int sum = 1; // 所有数都至少有一个真约数1
        // 只需要检查到sqrt(n)，因为大于sqrt(n)的约数可以通过n / 约数得到
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
            if (n % i == 0) {
                sum += i;
                if (i != n / i) { // 避免平方根被加两次
                    sum += n / i;
                }
            }
        }
        return sum;
    }
}