三国时期刘徽提出的割圆法有多牛掰，看这个：刘徽割圆术到底做了什么？ - 知乎

用Python实现的该算法代码如下：

#!/usr/bin/env python
"""使用割圆法计算π值

Usage::
    $ python calc_circle_pi.py 20  # 参数20是迭代次数

割圆法的几何描述可参考如下链接：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/553830157
https://zhuanlan.zhihu.com/p/340959552
"""

import math
import sys


def calc_pi(times: int, *, verbose=False) -> float:
    """割圆法求π值

    :param times: 迭代次数(>=1)
    :param verbose: 是否打印每次迭代的信息
    """
    lines = 6  # 初始边数为6
    r = length = 1.0  # 边长为1
    area = (1 * math.sqrt(1**2 - 0.5**2) / 2) * 6  # 面积
    for i in range(times):
        lines *= 2  # 边数增加一倍
        ap = length / 2  # 直角边AP的长度
        op = math.sqrt(r**2 - ap**2)  # 另一直角边OP的长度
        pc = r - op  # 新增三角形的短直角边PC的长度
        length = math.sqrt(ap**2 + pc**2)  # 新多边形的边长AC
        incr_area = pc * ap / 2  # 新增三角形的面积
        delta = incr_area * lines
        area += delta
        low, high = area, area + delta
        if verbose:
            print(f"第{i+1}次迭代，边数为{lines}，边长为{length}，π值为({low}, {high})")
        if low == high:
            if verbose:
                print("已到精度极限，终止迭代。")
            break
    return area


def main() -> None:
    times = 10
    if sys.argv[1:]:
        if (a1 := sys.argv[1]) == "-i":
            times = int(input("请输入迭代次数："))
        elif a1.isdigit():
            times = int(a1)
            print(f"{times = }")
    pi = calc_pi(times, verbose=True)
    print(f"Got PI: {pi}\n{math.pi=}")


if __name__ == "__main__":
    main()

结果如下：