7 法线

梯度、切线和法线

为了书写方便，记$x_i=x_1,x_2,...,x_n$，$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots \frac{\partial f}{\partial x_n}$。

对于函数$f(x_i)=0$而言，其梯度为$(\frac{\partial f}{\partial x_i})$。而$x_{n+1}=f(x_i)$可以写为$F(x_i,x_{n+1})=f(x_i)-x_{n+1}=0$，其梯度为

$$(\frac{\partial F}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x_i},-\frac{\partial F}{\partial x_{n+1}})=\frac{\partial F}{\partial f}(\frac{\partial f}{\partial x_i},-\frac{\partial f}{\partial F}\frac{\partial F}{\partial x_{n+1}})$$

如果只关注方向的话，那么矢量的数乘是没有意义的，所以可以把括号外的值消去；另外，$f$和$x_{n+1}$是相同的值，所以$x_{n+1}=f(x_i)$的法向量可以写为

$$(\frac{\partial f}{\partial x_i},-1)$$

用几何的观点来看待$n$变量函数$x_{n+1}=f(x_i)$，实际上是$n+1$维空间中嵌入的一个n维曲面。$\nabla f$代表的是这个$n+1$维超曲面在以第$n+1$个轴方向进行投影得到的$n$维曲面的法向量。$(\frac{\partial f}{\partial x_i},1)$表示这个n维曲面的法向量。

相应地最大方向导数的方向即为梯度的归一化

$$\frac{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\sqrt{{\sum }_{j=0}^n(\frac{\partial f}{\partial x_j}{)}^2}}$$

由此得到的方向导数为

$$\sqrt{\sum _{j=0}^n(\frac{\partial f}{\partial x_j}{)}^2}$$

相应地，空间中根据曲面的方向导数得到一个切向量

$$(\frac{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\sqrt{{\sum }_{j=0}^n(\frac{\partial f}{\partial x_j}{)}^2}},\sqrt{\sum _{j=0}^n(\frac{\partial f}{\partial x_j}{)}^2})$$

切、法相乘，结果为0。但是，对于任何一个不小于3维的向量而言，总是有无穷多个与之相乘为0且方向不同的向量。

例如，随机抽选出一个序号不大于$n$的第$j$坐标轴，沿该坐标轴方向做其切线，则其切线方向为

$$(0,\cdots ,1,\cdots ,0,\frac{\partial f}{\partial x_j})$$

该矢量与法矢量的点乘仍然为0。

切线和法线的绘制

对于$z=1-x^2-y^2$，其法向量为$(-2x,-2y,-1)$，其最大方向导数处的切向量为$(\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},2\sqrt{x^2+y^2})=(-x,-y,2-2z)$，$x$轴方向的切向量为$(1,0,-2x)$，$y$轴方向处的切向量为$(0,1,-2y)$。

现随机选择一些点，来绘制一下这四个方向的向量

library(rgl)
N = 1500
x<-rnorm(N)
y<-rnorm(N)
z<-1-x^2-y^2
for(i in 1:N){
    lines3d(c(x[i],3*x[i]),c(y[i],3*y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='red')
    if(y[i]>0.1)
        lines3d(c(x[i],x[i]),c(y[i],y[i]-1/y[i]/2),c(z[i],z[i]+1),col='green')
    if(x[i]>0.1)
    lines3d(c(x[i],x[i]-1/x[i]/2),c(y[i],y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='green')
    lines3d(c(x[i],x[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(y[i],y[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(z[i],z[i]+1),col='green')
}

可以看到，绿线几乎重新编织了一遍原函数，而红线则刺破了曲面。