2024深圳杯数学建模竞赛D题（东三省数学建模竞赛D题）：建立非均质音板振动模型与参数识别模型

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代码为2024年深圳杯数学建模D题（东三省数学建模联赛D题）全部4问的代码，论文包括摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型的建立和求解（问题1模型的建立与求解、问题2模型的建立与求解、问题3模型的建立与求解、问题4模型的建立与求解）、模型的评价等等

摘要

本文针对音板振动建模与参数识别的一系列问题,采用了多种数学建模方法和求解算法,对相关问题进行了深入分析和求解。首先,我们建立了基于Kirchhoff-Love理论的均质薄板振动模型,并采用Ritz方法进行求解,得到了不同材料薄板在2000 Hz范围内的振动频率和振型。随后,我们扩展了该模型,考虑了薄板的几何非均匀性,建立了非均质薄板振动模型,并提出了基于分片多项式插值的求解算法。接着,我们针对给定的非均质音板振型信息,采用分离变量法和傅里叶级数展开的方法进行振型函数的建模与分析。最后,我们进一步提出了基于优化的参数识别算法,能够从已知的振型信息中反推出满足要求的音板物理参数分布。通过对这些问题的全面研究,我们不仅掌握了相关的建模与求解技能,也深入理解了音板振动特性与材料、几何因素之间的关系,为实际音乐乐器的设计与制造提供了重要支持。

问题1的 Kirchhoff-Love 均质薄板振动模型：我们首先建立了基于Kirchhoff-Love薄板理论的均质薄板振动模型,该模型采用了垂直于中面的直线保持直线、厚度保持不变、法向应力可忽略不计等假设。在此基础上,我们得到了描述薄板自由振动的偏微分方程组。对于具有自由边界条件的方形薄板,我们还建立了相应的边界条件方程。为了求解该振动模型,我们采用了Ritz方法。（后略，见完整版）

问题2的非均质薄板振动模型：针对问题2,我们在Kirchhoff-Love理论的基础上,进一步建立了考虑几何非均匀性的非均质薄板振动模型。该模型引入了位置相关的材料参数(密度、弹性模量、泊松比)和几何参数(厚度、弯曲角),以更准确地描述薄板的振动行为。为了求解非均质薄板振动模型,我们提出了基于分片多项式插值的算法。具体来说,我们将整个平面区域划分为若干单元,在每个单元内采用多项式函数对厚度和弯曲角分布进行拟合。最后采用Ritz法或Galerkin法求解。（后略）

问题3的分离变量法振动模型：针对问题3给出的非均质音板振动信息,我们建立了基于分离变量法的振动模型。该模型将音板的振动位移表示为时间函数和空间振型函数的乘积形式,大大简化了问题的复杂性。为了描述附件提供的5个振型函数$\varphi_j(x,y)$,我们采用了傅里叶级数展开的方法。（后略）

问题4的参数识别模型：针对问题4,我们建立了基于非均质音板振动理论的参数识别模型。该模型将密度、杨氏模量、泊松比和厚度等位置相关参数作为待识别对象,目标是确定满足给定振型信息的参数分布。我们定义了一个优化目标函数,（后略）

在解决问题1-问题4的过程中,我们采用了基于Kirchhoff-Love理论的均质薄板振动模型、考虑几何非均匀性的非均质薄板振动模型、分离变量法的振动模型以及基于优化的参数识别模型等。这些模型各有特点,适用于不同的问题情况。通过合理选择和扩展这些模型,我们不仅能够有效地求解音板振动问题,还可以深入理解影响振动行为的关键因素,为实际音乐乐器的设计和制造提供重要参考。

问题重述

下面是2024深圳杯（东三省）数学建模D题的一个问题重述：音乐来自乐器，乐器产生于制造，而制造需要数理逻辑。

在20世纪末，我国就已经形成了较为完整的乐器工业生产体系，基本可以加工世界上所有大类乐器，门类齐全，品种众多。其中，在弦乐器（例如钢琴、小提琴、吉他、二胡等）的生产过程中，音板是决定乐器音色质量的重要部件。由于弦的振动所辐射的声能量效率很低，因此琴弦通常需要带动音板振动，以提高其声能量辐射效率。音板是连续弹性薄板，受到琴弦的激励后会产生更多的振动模态，从而产生更丰富美妙的谐音。

弹性板的振动模态包含振动频率、振型等，分别是弹性算子（偏微分算子）的特征值的虚部和相应的特征向量。音板的振动模态与其几何形状和厚度，所选材质的密度、杨氏模量、剪切模量、泊松比等密切相关。本题聚焦于乐器音板的振动模态研究，要求我们收集常见乐器制作所用木材、金属、或某类型复合材料和新型材料的振动力学参数资料，建立数学模型，研究如下问题：

问题1 考虑具有自由边界条件的方形均质音板，建立音板的振动数学模型，计算并对比大小一致材质不同的音板频率在2000 Hz范围内相应振动模态的频率和振型：云杉木材，某类型常用金属、某类型高新复合材料和新型材料。

问题2 选择一种特定的云杉木材来制作一块厚度非均匀，且具有一定弯曲度的薄音板（具自由边界条件）。建立音板的振动数学模型，并计算附件里图所示轮廓的木材音板在2000 Hz的范围内相应振动模态的频率和振型。

问题3 附件给出了通过特殊设备获得的某种具有自由边界条件非均质音板的5个模态情况，包括从小到大排列的5个振动频率和对应的振型图。图的颜色相同的地方代表振动方向一致，红、黄色代表该处向上振动，蓝色、绿色代表该处向下振动，暖色或冷色越深代表振动幅度越大。它们是动态曲面函数在这些振动频率上的单位范数分解，即（略）

其中频率从小到大排列，理论上有无限多个，函数是对应的振型，它的平方在参考平面区域的积分等于1。根据附件给出的5个频率对应的振型图描述振型函数。

问题4 对附件给出的振型图轮廓形状的自由振动非均质音板，确定它的物理和厚度参数（可能随平面位置变化），使得它的前5个模态最接近附件给出的模态信息。对其制造材质选择给出建议。

问题分析

问题1分析

问题1要求我们针对具有自由边界条件的方形均质音板,建立振动数学模型,计算并比较不同材质音板在2000 Hz范围内的振动频率和振型。这实质上是研究均质薄板自由振动的经典问题,涉及到弹性力学理论中对薄板振动行为的建模与分析。

我们首先可以建立基于Kirchhoff-Love薄板理论的数学模型。该模型假设薄板遵循垂直于中面的直线保持直线、厚度保持不变、法向应力可忽略不计等假设。在此基础上,我们可以得到描述薄板振动的偏微分方程。对于具有自由边界条件的方形薄板,我们还需要确定相应的边界条件方程。有了数学模型,我们接下来可以采用Ritz方法进行求解。Ritz方法是一种基于变分原理的近似解法,通过构建满足边界条件的试探函数,将原偏微分方程转化为代数方程组求解。这样,我们就可以得到薄板在不同材质下的振动频率和振型函数。（后略）

问题2分析

问题2在问题1的基础上,增加了薄板几何非均匀性这一新的关键因素。我们需要建立考虑厚度非均匀和弯曲度分布的非均质薄板振动模型,并采用分片多项式插值算法进行求解。这使得原有的数学模型更加复杂,需要我们具备扎实的建模功底和数值分析技能。

问题2在问题1的基础上,增加了薄板几何非均匀性这一新的关键因素。我们需要建立考虑厚度非均匀和弯曲度分布的非均质薄板振动模型,并采用分片多项式插值算法进行求解。这使得原有的数学模型更加复杂,需要我们具备扎实的建模功底和数值分析技能。问题1分析

问题2分析

我们首先可以在Kirchhoff-Love薄板理论的基础上,（后略）

问题3分析

问题3给出了一种具有自由边界条件的非均质音板的5个振动模态信息,包括振动频率和相应的振型图。我们需要基于这些给定信息,分析和建模振型函数 𝜑𝑗(𝑥,𝑦) 的表达式。

我们首先需要理解问题3中给出的振动模态表达式的物理意义。该表达式反映了音板振动是由多个固有模态的叠加所产生的,其中 𝜑𝑗(𝑥,𝑦) 表示第 𝑗 个固有振动模态的振型函数, 𝜔𝑗 为对应的固有振动角频率, 𝑎𝑗(𝑡) 和 𝑏𝑗(𝑡) 为时间相关的振幅函数。

接下来,我们可以根据附件提供的5个振型图的特征,采用分离变量法和傅里叶级数展开的方法来建模振型函数 𝜑𝑗(𝑥,𝑦) 。具体来说,我们可以假设 𝜑𝑗(𝑥,𝑦) 可以表示为一系列正弦函数的叠加,并通过观察振型图的分布特点,如节线位置、振幅分布等,确定各个傅里叶系数的值。这样就完成了对给定振型信息的建模和分析。

问题3分析

问题4分析

问题4要求我们根据附件给出的5个振型信息,确定一种具有自由边界条件的非均质音板的物理参数和厚度分布,使其前5个振动模态最接近于给定的振型信息。这实质上是一个参数识别问题,需要从已知的振动响应特性出发,反推音板的实际物理参数。

我们首先可以建立基于非均质音板振动模型的优化目标函数。该目标函数描述了预测的前5个振型函数与附件给出的振型函数之间的误差平方和。我们可以采用密度、杨氏模量、泊松比和厚度等位置相关参数来表征音板的非均质特性。（后略）

模型假设

问题1-问题4的建模和求解过程使用到的关键模型假设如下：

非均质薄板振动模型假设针对问题2中的非均质薄板振动模型,我们在Kirchhoff-Love理论的基础上,引入了位置相关的材料参数和几何参数,如密度、杨氏模量、泊松比以及厚度和弯曲角分布。这些非均匀性会对薄板的振动行为产生重要影响,需要通过分片多项式插值等方法进行建模和描述。
（后略，见完整版）

在解决问题1-问题4的建模和求解过程中,我们采用了多种假设前提,包括薄板理论、非均匀性建模、时空分离、傅里叶展开以及优化目标等。这些假设为我们提供了合理的简化和建模框架,使得复杂的音板振动问题能够得到有效求解。

符号说明

本文使用到的所有符号及其说明如下：

这些符号涵盖了前面问题1到问题4中使用的所有变量和函数,包括薄板/音板的几何、材料、振动特性,以及参数识别问题中使用的变量和函数。

模型的建立与求解

问题一Kirchhoff-Love 均质薄板振动模型建立与求解

针对问题1的要求,我们可以建立基于Kirchhoff-Love薄板理论的 Kirchhoff-Love 均质薄板振动模型。该模型是经典的薄板振动理论,广泛应用于工程实践中。它采用了以下几个基本假设:1)垂直于中面的直线在变形后仍保持直线并保持垂直于变形后的中面;2)板的厚度在变形过程中保持不变;3)法向应力可以忽略不计。

在这些假设的基础上,我们可以建立薄板的振动偏微分方程组:

𝐷∇4𝑤+𝜌ℎ∂2𝑤∂𝑡2=0

其中, 𝑤(𝑥,𝑦,𝑡) 为板的位移函数, ∇4 为拉普拉斯算子的四阶形式, 𝜌 为板材密度, ℎ 为板厚, 𝐷 为板的抗弯刚度,表达式为 𝐷=𝐸ℎ312(1−𝜈2) ,其中 𝐸 为杨氏模量, 𝜈 为泊松比。

这个偏微分方程描述了薄板在外载荷作用下的振动平衡关系,左侧表示板的内力导致的弯矩,右侧则为板的惯性力。它是一个线性、齐次的偏微分方程,适用于描述均质薄板在小振幅条件下的自由振动行为。

对于具有自由边界条件的方形均质薄板,其边界条件可以表示为:

在在在𝑥=0,𝑥=𝑎:𝑀𝑥=∂2𝑤∂𝑥2+𝜈∂2𝑤∂𝑦2=0,𝑄𝑥=−𝐷(∂3𝑤∂𝑥3+(2−𝜈)∂3𝑤∂𝑥∂𝑦2)=0在𝑦=0,𝑦=𝑏:𝑀𝑦=∂2𝑤∂𝑦2+𝜈∂2𝑤∂𝑥2=0,𝑄𝑦=−𝐷(∂3𝑤∂𝑦3+(2−𝜈)∂3𝑤∂𝑦∂𝑥2)=0

（后略）

Kirchhoff-Love均质薄板振动模型是一个典型的偏微分方程边值问题,它可以较好地描述均质薄板在自由振动条件下的振动行为,为后续的分析和求解奠定了基础。

Ritz 法求解算法

为了求解Kirchhoff-Love均质薄板振动模型,我们可以采用 Ritz 方法进行求解。Ritz方法是一种基于变分原理的近似解法,它通过构建满足边界条件的试探函数,将原偏微分方程转化为代数方程组进行求解。这种方法在处理复杂边界条件的偏微分方程时具有较好的适用性和灵活性。具体的算法步骤如下:

步骤1:选择满足自由边界条件的试探函数 𝜙(𝑥,𝑦) 。对于方形薄板,可以选择以下形式的试探函数:

𝜙(𝑥,𝑦)=∑𝑚=1𝑀∑𝑛=1𝑁𝐴𝑚𝑛sin⁡(𝑚𝜋𝑥𝑎)sin⁡(𝑛𝜋𝑦𝑏)

其中, 𝐴𝑚𝑛 为待定系数, 𝑀 和 𝑁 为试探函数的阶数。这种形式的试探函数满足自由边界条件,并可以通过调整 𝑀 和 𝑁 的取值来控制试探函数的逼近精度。

步骤2:将试探函数 𝜙(𝑥,𝑦) 代入Kirchhoff-Love薄板振动方程,并应用 Ritz 变分原理,可以得到一个关于待定系数 𝐴𝑚𝑛 的特征值方程组:（后略，见完整版）

Kirchhoff-Love均质薄板振动模型求解

有了上述Ritz法求解算法,我们就可以针对具体的薄板几何尺寸和材料参数,求解Kirchhoff-Love均质薄板振动模型,得到所需的振动频率和振型信息。部分代码如下：

% 问题1: Kirchhoff-Love 均质薄板振动分析 close all % 参数定义 a = 1; % 板长 b = 1; % 板宽 h = 0.01; % 板厚 rho = 400; % 密度 E = 10e9; % 杨氏模量 nu = 0.3; % 泊松比 % 计算抗弯刚度 D = E*h^3 / (12*(1-nu^2)); % Ritz 法求解 M = 50; % Ritz 试探函数阶数 N = 50; % 构建特征值问题矩阵 A = zeros(M*N); B = zeros(M*N); for m = 1:M for n = 1:N A((m-1)*N+n,(m-1)*N+n) = D*((m*pi/a)^2 + (n*pi/b)^2)^2; B((m-1)*N+n,(m-1)*N+n) = rho*h; end end (后略)

求解结果分析

有了上述Kirchhoff-Love均质薄板振动模型的求解结果,我们就可以针对不同材质的薄板,如云杉木、金属、复合材料等,分别计算它们在2000 Hz范围内的前5个振动模态,对比它们的振动频率和振型特征。这样可以更好地理解材料参数对薄板振动行为的影响。

综上，针对问题1,我们建立了基于Kirchhoff-Love薄板理论的 Kirchhoff-Love均质薄板振动模型,采用 Ritz法求解算法得到了薄板的固有振动频率和振型函数。通过对比不同材质薄板的振动特性,我们可以深入分析材料参数对薄板振动行为的影响,包括固有频率、振型分布等方面的差异。

问题二非均质薄板振动模型的建立与求解

问题2要求我们伍建立一种具有自由边界条件的非均质薄板的振动数学模型,并计算该薄板在2000 Hz范围内的振动频率和振型。附件中给出了这种非均质薄板的轮廓形状,我们可以看到它具有明显的厚度非均匀和弯曲度分布。

这个问题与问题1相比,增加了薄板几何非均匀性这一关键因素。我们需要在Kirchhoff-Love薄板理论的基础上,进一步扩展和改进数学模型,以更准确地描述非均质薄板的振动行为。同时,还需要采用适当的数值分析方法,有效地求解包含位置相关参数的振动偏微分方程。

问题二非均质薄板振动模型的建立与求解

非均质薄板振动模型的建立

针对问题2的要求,我们可以建立一个考虑薄板几何非均匀性的非均质薄板振动模型。该模型的偏微分方程可以表示为:

其中, 为薄板的位移函数, 为拉普拉斯算子的四阶形式, 为薄板密度, 为薄板厚度,而为薄板的局部抗弯刚度,表达式为 ,其中为局部杨氏模量, 为局部泊松比。（后略，见完整版）

分片多项式插值算法

为了求解非均质薄板振动模型,我们需要采用适当的数值分析方法。由于附件中给出的薄板几何轮廓具有厚度非均匀和弯曲度分布,我们可以采用分片多项式插值算法来描述这些位置相关的几何参数。

具体步骤如下:

步骤1:根据给定的薄板几何轮廓,将整个平面区域划分为若干个小单元。可以采用矩形网格或三角形网格等方式进行离散化（后略，见完整版本）

问题三分离变量法振动模型的建立与求解

问题3给出了一种具有自由边界条件的非均质音板的5个振动模态信息,包括从小到大排列的5个振动频率以及对应的振型图。这些振型图反映了音板在不同固有振动频率下的变形特征。

问题要求我们基于附件提供的5个振型图,描述振型函数的表达式。这就要求我们对给定的振型信息进行深入分析和建模。首先需要理解振动模态表达式中各项的物理意义,如时间函数、以及对应的固有频率等。然后需要根据振型图的颜色分布,分析每个振型函数的空间特征,如振动幅度分布、节线位置等。

分离变量法振动模型的建立

针对问题3中给出的非均质音板振动信息,我们可以建立一个基于分离变量法的振动模型。该模型将音板的位移函数表示为时间函数和空间函数的乘积形式:

（后略，见完整版）

振型函数建模与求解

有了上述基于分离变量法和傅里叶级数展开的振动模型,我们就可以针对问题3中给出的5个振型图,进行振型函数的建模和求解了。具体过程如下:

首先,我们根据附件提供的5个振型图的特征,选择合适的傅里叶级数展开项数和 ,并初步确定各个傅里叶系数的值。这需要我们仔细观察每个振型图的分布特点,如振动幅度的大小、节线的位置等,并结合前述的傅里叶级数表达式进行拟合。

（后略，见完整版）

综上，针对问题3,我们建立了基于分离变量法的振动模型,并采用傅里叶级数展开算法对给定的5个振型函数进行建模。通过对附件提供的振型图信息的分析,我们可以更深入地理解非均质音板在不同固有频率下的振动特性,为后续的音板设计和应用提供参考。

非均质音板振动模型与参数识别模型的建立与求解

2024深圳杯数学建模D题问题4要求我们伍根据附件给出的5个振型信息,确定一种具有自由边界条件的非均质音板的物理参数和厚度分布,使其前5个振动模态最接近于附件中提供的信息。这实质上是一个参数识别问题,需要从给定的振动响应特性出发,反推音板的物理特性。

相比于前面的问题,这个问题增加了一个新的难点,即需要根据已知的振型信息来确定音板的几何、材料等参数。这就要求我们建立一个能够准确描述音板振动行为的数学模型,并采用合适的参数识别算法,通过优化的方式确定模型中的未知参数。

（后略，见完整版）

模型评价与推广（部分）

问题4的参数识别模型评价与推广

优点:

基于非均质音板振动理论,通过优化的方式从给定的振型信息中反推出音板的物理参数分布。
可以有效地确定满足要求的参数分布,为实际音板设计提供了重要依据。
考虑了音板的非均质特性,更贴近实际工程问题。

缺点:

参数识别问题是一个非线性的逆问题,对初值选择和优化算法的选择较为敏感,可能存在收敛到局部最优的问题。
识别的准确性受到振型信息本身的精度和完备性影响,缺乏对全局性能的保证。
优化过程计算量较大,难以实时应用于动态控制。

推广:

结合更先进的参数识别算法,如遗传算法、粒子群优化等,提高收敛性和鲁棒性。
引入多目标优化,同时考虑多种性能指标,如频响特性、振动幅值等。
与模型更新、测试反馈等方法相结合,提高参数识别的准确性和可靠性。
扩展到复杂音乐乐器的振动分析和设计中,结合声学特性进行综合优化。
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