圆排列问题描述

给定n个大小不相等的圆，要将这n个大小不相等的圆排进一个矩形框中，且要求个个圆都与矩形框的最底边相切。要找出最小长度的圆排列。

问题分析

排列排列，解空间是一个排列树。

设开始时，a[n]储存n个圆的半径，相应的排列树就由a[1:n]的所有排列构成了。

初始的时候，数组a是n个圆的半径，这是输入原始数据

我们要计算每一个圆在当前排列中的圆心横坐标，用Center（ t ）这个函数完成当前圆 t 在当前排列的圆心坐标。（这里要想清楚一个麻烦的问题：大圆包小圆）

然后计算当前圆排列的矩形框的长度，用Compute（）实现。

变量min记录当前的最小圆排列矩形框的长度，数组 r 表示当前的圆排列，数组 x 记录当前圆排列各个圆的横坐标所在位置，默认第一个圆心坐标为0。

递归回溯a[1:n]的所有排列，backtrack（int i ）

当 i > n 时，搜索到叶子，得到新的圆排列方案，调用Compute()函数计算矩形框函数，看看能不能更新最优值

当i <=n时，还是在扩展节点上，要选择下一个圆进行排列，计算下界函数（剪枝），如果当前圆心坐标+第一个圆的半径（我们默认第一个圆的圆心坐标为0）+当前圆的半径 >= min ，就认定不会产生最优解了，果断剪枝。如果还能产生最优解，那就以深度优先搜索的方式继续递归搜索，选择下一个圆。

注意：

之所以一直从头寻找一个圆来更新当前圆的圆心位置，是因为相邻的圆与当前圆t不一定相切，我们应该找到一个相切的。选出最大值就对应了当前圆中心坐标

完整的代码

//5-10 圆排列问题
//排列树
//给n个圆和n个圆的半径 
#include<iostream>
#include<string.h> 
#include<cmath>
#include<algorithm> 
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std; 
int n;//圆的个数 
float x[100];//当前圆排列圆心坐标 
float r[100];//当前圆排列 
float minn = INF;//当前最优值
void Print(float b[100]){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<b[i]<<" ";
	cout<<endl;
}
float Center(int t){//求圆心坐标:假定它跟前面的所有圆相切，求出圆心坐标，值最大的就是真的
	float ans=0;
	for(int i=1;i<t;i++){
		float v=x[i]+2.0*sqrt(r[t]*r[i]);//2.0*sqrt(a*b)=sqrt(pow(a+b,2),pow(a-b,2))
		if(v>ans) ans=v;
	}
	return ans;
} 
void Compute(){
	float low=INF;//左边界：所有圆的X坐标减去半径得到的 最小值
	float high=0;//右边界：所有圆的X坐标加上半径得到的 最大值
	for(int i=1;i<=n;i++){
		float w=x[i]-r[i];//先计算左边界
		if(w<low) low=w;
		float v=x[i]+r[i];//在计算右边界
		if(v>high) high=v;
	} 
	cout<<"high-low="<<high-low<<endl;
	if(high-low<minn) minn=high-low;//边长为右边界减左边界 
	
}
void Swap(float &a,float &b){
	float t=a;a=b;b=t;
}
//排列树
void BackTrack(int t){ //第t个顶点 
	if(t>n){//到达叶结点
		Compute();
		Print(r);
		return;
	}
	else{
		for(int i=t;i<=n;i++){//从剩下的圆选一个放在t位置 
		Swap(r[t],r[i]);
		float centerx=Center(t);//求t的圆心坐标	
		if(centerx+r[t]+r[1]<minn){
			x[t]=centerx;
			BackTrack(t+1);		
			}
			Swap(x[t],x[i]);
		}	
	}	
} 
int main(){
	int t;//边数 
	int x,y,z;
    cout << "几个圆：" << endl;
	cin>>n;
    cout<< "n个圆的半径: " << endl;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>r[i];
	}
	cout<<"--------------\n"; 
	BackTrack(1); 
	cout<<"minn="<<minn<<endl;
	return 0;
}
/*
3
1 1 2
*/

典型的回溯法--排列树