1.动态规划理论基础

1.1题目分类大纲

1.2什么是动态规划？

• 动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
• 所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，

1.3背包问题

• 例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

• 动态规划中dp[j]是由dp[j-weight[i]]推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。

所以贪心解决不了动态规划的问题。

1.4解题步骤

将动态规划问题拆解为如下五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

1.5动态规划应该如何debug？

• 找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

• 做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果

• 若出现代码错误，可以先思考以下三个问题：

  • 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
  • 我打印dp数组的日志了么？
  • 打印出来了dp数组和我想的一样么？

2.斐波那契数

2.1题目

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

• 示例一：

输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

• 示例二：

输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

• 示例三：

输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

2.2解法：动态规划

2.2.1动态规划思路

动规五部曲：

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

（2）确定递推公式

题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

（3）dp数组初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

（4）确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

（5）举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

2.2.2代码实现

	public int fib(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        //1、确定dp数组以及下标含义，下标n的元素代表了数字n的斐波那契数
        int[] dp=new int[n+1];
        //3、dp数组初始化
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        //4、确定遍历顺序（注意：要到数字n）
        for(int i=2;i<=n;i++){
            //2、确定递归公式
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

3.爬楼梯

3.1题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

• 示例一：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

• 示例二：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

3.2解法：动规

3.2.1动规思路

动规五部曲：

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i层楼梯一共有dp[i]种方法

（2）确定递推公式

爬到第i层楼梯一共有两种情况：

• 从第（i-1）层楼梯爬一个台阶
• 从第（i-2）层楼梯爬二个台阶

故此，dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

（3）dp数组初始化

dp[1] = 1;
dp[2] = 2;

（4）确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

（5）举例推导dp数组

3.2.2代码实现

	public int climbStairs(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

4.使用最小花费爬楼梯

4.1题目

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

• 示例一：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
- 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

• 示例二：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
- 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

4.2解法：动规

4.2.1动规思路

（1）确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：爬到第i层楼梯的最低花费

（2）确定递推公式

爬到第i层楼梯一共有两种情况：

• 从第（i-1）层楼梯爬一个台阶，花费第[i-1]层楼梯的代价
• 从第（i-2）层楼梯爬二个台阶，花费第[i-2]层楼梯的代价1

故此，dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1] , dp[i-2]+cost[i-2])

（3）dp数组初始化

新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。

所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

dp[0] = 0;
dp[1] = 0;

（4）确定遍历顺序

因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。 例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？

（5）举例推导dp数组

4.2.2代码实现

	public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len=cost.length;
        int[] dp=new int[len+1];    //注意楼顶是数组最后一个元素的下一个
        dp[0]=0;
        dp[1]=0;
        for(int i=2;i<=len;i++){
            dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1] , dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[len];
    }