01背包问题

dp[i-1][j]指没纳入当前物品，dp[i-1][j-c_i]+w_i指纳入当前物品，并且是和j-c_i体积下的价值作和

滚动数组优化空间复杂度

[NOIP2005 普及组] 采药

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

第一行有 $2$ 个整数 $T$（$1\le T\le 1000$）和 $M$（$1\le M\le 100$），用一个空格隔开，$T$ 代表总共能够用来采药的时间，$M$ 代表山洞里的草药的数目。

接下来的 $M$ 行每行包括两个在 $1$ 到 $100$ 之间（包括 $1$ 和 $100$）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出在规定的时间内可以采到的草药的最大总价值。

样例输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

• 对于 $30\%$ 的数据，$M\le 10$；
• 对于全部的数据，$M\le 100$。

思路

• 纯模板题，没什么好说的
• 但是，一开始写的时候，遇到了一点小问题。题目中说明了M最多不会超过100，所以我一开始写的时候对于背包数组开的大小是[105]，但是过不了到现在也没发现原因,但以后试着开大一点吧
• f 数组开的大小应该是以 V 为尺度

题解

#include<iostream>
using namespace std;
int f[10005],v[10005],w[10005];
int main(){
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int k=m;k>=v[i];k--) f[k]=max(f[k],f[k-v[i]]+w[i]);
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

多重背包问题

多重背包

有 n 种物品，第 i 种物品有 x_i个，每一个物品重量为 w_i ，价值为 v_i ，现有一个承重能力为 TT 的背包，在不超过承重能力的情况下，背包种最多能装多少价值的物品。

输入描述

第一行输入两个整数n，T(1≤n，T≤100)，代表物品种类和背包承重能力。
接下来n行，每行3个整数x_i，w_i，v_i(1≤x_i，w_i≤20，1≤v_i≤200)描述一个物品，分别代表物品的个数、物品的重量、物品的价值

输出描述

输出一行一个整数，表示在不超过承重能力的情况下，背包物品的最大价值

示例一
输入

2 8
4 2 100
2 4 100

输出

400

思路

• 纯模板题

题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x[105],w[105],v[105],t,n,dp[105];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&t);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d%d",&x[i],&w[i],&v[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=t;j>=w[i];--j) for(int k=0;k<=min(x[i],j/w[i]);++k) dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i]);
    }
    printf("%d",dp[t]);
}

完全背包问题

[NOIP2018 提高组] 货币系统

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[\mathrm{1..}n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]\times t[i]$ 的和为 $x$。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3$, $a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

样例输入 #1

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

样例输出 #1

2   
5

提示

在第一组数据中，货币系统 $(2,[3,10])$ 和给出的货币系统 $(n,a)$ 等价，并可以验证不存在 $m<2$ 的等价的货币系统，因此答案为 $2$。 在第二组数据中，可以验证不存在 $m<n$ 的等价的货币系统，因此答案为 $5$。

【数据范围与约定】

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le T\le 20,n,a[i]\ge 1$。

思路

• 首先，（m,b）中出现的数，必须在（n,a）中出现
• （n,a）中最小的数肯定是（m,b）中必须出现的这个好理解，因为最小的数没办法用其他的数表示，而大的数往往可以通过小的数表示，所以需要将给出的a数组排序一下，然后从小到大找出 b 数组需要的数遍历时，当前的数无法用已有的数进行表示的时候就将它纳入 b 数组内

题解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105],f[25005];
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        int n,ans=0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
        sort(a,a+n);
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0]=1;
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(!f[a[i]])++ans;
            for(int j=a[i];j<=a[n-1];j++){
                f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]);
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}