数据结构（八）----树

一.树的逻辑结构

1.双亲表示法(顺序存储)

2.孩子表示法（顺序+链式存储）

3.孩子兄弟表示法（链式存储）

二.树的遍历

1.先根遍历

2.后根遍历

3.层次遍历

三.森林的遍历

1.森林的先序遍历

2.森林的中序遍历

四.哈夫曼树

1.带权路径长度

2.构造哈夫曼树

3.哈夫曼编码

一.树的逻辑结构

树是n (n $\geq$ 0) 个结点的有限集合，n=0时，称为空树，这是一种特殊情况。

在任意一棵非空树中应满足：

1)有且仅有一个特定的称为根的结点。

2)当n>1时，其余结点可分为m (m>0) 个互不相交的有限集合T1,T2.…. Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树。

1.双亲表示法(顺序存储)

除了根节点之外，其它节点具有唯一的父节点，所以每个节点除了保存数据外，还会保存指向双亲的“指针”。

如下图所示，-1表示没有双亲，B,C,D的双亲为0号节点。

注：新增数据元素，无需按逻辑上的次序存储

#define MAX_TREE_SIZE 100    //树中最多结点数
typedef struct{    //树的结点定义
    ElemType data;    //数据元素
    int parent;    //双亲位置域
}pTNode;

typedef struct{     //树的类型定义
    PTNodenodes[MAX_TREE_SIZE];    //双亲表示 
    int n;    //结点数
}PTree;

•插入新节点：写入新节点的值，并记录其与双亲的关系。

注：新增数据元素，无需按逻辑上的次序存储

•删除节点：

方案一：删除元素后，将其双亲"指针"设为"-1"。

方案二：将尾部的数据移动到删除元素的位置。

哪个方案更好呢？

若要删除的节点不是叶子节点，那么需要将其子孙节点全部删除，这就需要依次遍历，查找他的孩子节点。若采用第一种方案，则遍历时会出现空数据，会导致遍历速度下降。

在二叉树的顺序存储中，二叉树的节点编号与完全二叉树对应：

i的左孩子---2i

i的右孩子---2i+1

i的父节点--- $\left \lfloor i/2 \right \rfloor$

可以看到，节点的编号不仅反映了存储位置，也隐含了节点之间的逻辑关系。

忘记了可以看看：二叉树

2.孩子表示法（顺序+链式存储）

顺序存储各个节点，每个结点除了保存数据域外，还保存了指向第一个孩子的指针。

struct CTNode {
    int child;              // 孩子结点在数组中的位置
    struct CTNode *next;    // 下一个孩子
};
typedef struct {
    ElemType data;      
    struct CTNode *firstChild;    // 第一个孩子
} CTBox;
typedef struct {
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int n,r;               // 结点数和根的位置
} CTree;

3.孩子兄弟表示法（链式存储）

typedef struct csNode{
    ElemType data;     //数据域
    struct CSNode *firstchild,*nextsibling;   
    //firstchild指向第一个孩子，nextsibling指向第一个孩子的右兄弟
}CSNode,*CSTree;

如下图所示：

A的第一个孩子是B，A的左指针指向B，B的右兄弟为C，所以B的右指针指向C，C的右兄弟是D，所以C的右指针指向D，其他依此类推。

这就实现了树到二叉树的转化。

二叉树到树转换的逻辑与上面反过来就行：

补充：森林和二叉树的相互转换

1.首先将森林里的每一棵树转换为二叉树：

2.将根节点看作兄弟结点，通过右指针指向：

二叉树转换为森林的逻辑反过来即可：

二.树的遍历

1.先根遍历

树的先根遍历与二叉树的先根遍历原理相同。

将其对应的二叉树画出来，可以观察到，树的先根遍历序列与这棵树相应二叉树的先序序列相同。

2.后根遍历

转换为对应二叉树后，树的后根遍历序列与这棵树相应二叉树的中序序列相同。

3.层次遍历

与二叉树的层次遍历相同：

① 若树非空，则根节点入队

② 若队列非空，队头元素出队并访问，同时将该元素的孩子依次入队

③ 重复②直到队列为空

注：树的层次遍历可以称为广度优先遍历；相对地，先根遍历和后根遍历可以称为深度优先遍历。

三.森林的遍历

1.森林的先序遍历

若森林为非空，则按如下规则进行遍历：

1.访问森林中第一棵树的根结点。

2.先序遍历第一棵树中根结点的子树森林。

3.先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。

如下图所示，① 先访问B，在访问第一棵树中根节点的子树森林，即以E,F为根节点的森林。② 递归到第一步，访问子树森林中第一棵树的根节点，即E，再先序遍历E的两棵子树森林K,L。③ 先序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林，即F。

其等同于依次对各个树进行先根遍历，最后结果如下：

或者可以将森林先转换为二叉树，森林的先序遍历序列和二叉树的先序遍历序列也是相同的。

2.森林的中序遍历

1.中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林。

2.访问第一棵树的根结点。

3.中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。

对森林的中序遍历，效果等同于依次对各个树进行后根遍历，结果如下：

或者可以把他转化为对应的二叉树，森林的中序遍历，效果等同于对应二叉树的中序遍历。

总结：
森林的先序遍历效果等同于森林中各个树的先根遍历，也等同于对二叉树的先序遍历

森林的中序遍历效果等同于森林中各个树的后根遍历，也等同于对二叉树的中序遍历

四.哈夫曼树

1.带权路径长度

•结点的权：有某种现实含义的数值（如：表示结点的重要性等），下图所示，每一个结点都有对应的权值。

•结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度(经过的边数)与该结点上权值的乘积。

例如，权值为3的结点：从根结点到权值为3的结点的路径长度为3，所以其带权路径长度为3*3=9.

•树的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和(WPL,Weighted Path Length)

注：树的路径长度是指根到每个结点的路径长的总和，根到每个结点的路径长度的最大值应是树的高度-1，注意与这里做区别。

例如：

第一个图中，叶子结点有4个，根到各个结点的路径长度是2，所以这棵树的带权路径长度：

2*1+2*3+2*4+2*5=26

第二个图中，叶子结点有4个，根到1，3，4，5的路径长度为3，3，2，1，所以带权路径长度：1*5+2*4+3*1+3*3=25

第三个图同理，带权路径长度为：1*5+2*4+3*1+3*3=25

第四个图的带权路径长度为：1*1+2*3+3*5+3*4=34

•哈夫曼树：在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度(WPL)最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树。上面计算的中间两棵树都是哈夫曼树。

2.构造哈夫曼树

(1) 将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。

(2) 构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置为左、右子树上根结点的权值之和。

(3) 从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。（当然也可以选择e和b）

(4) 重复步骤2)和3)，直至F中只剩下一棵树为止。

这棵树的带权路径长度 $WPL_{min}$ =1*7+2*3+3*2+4*1+4*2=31

从上面可以观察到：

• 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。

•n个结点，两两结合为一棵树，总共需要合并n-1次，每一次合并都会增加一个结点，所以哈夫曼树的结点总数为n+n-1=2n-1个。

•哈夫曼树中不存在度为1的结点。

•哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优。

3.哈夫曼编码

对于固定长度编码，每个字符需要用相等长度的二进制位表示，例如：

若用权值表示各个字母的使用次数，假设A的使用次数：10，B：8，C：80，D：2，那么其带权路径长度可以这样表示：从根节点出发，向左的路径是二进制0，向右的路径是二进制1（也可以反过来）

上面这棵树的带权路径长度为200，用A,B,C,D构造哈夫曼树，能使带权路径长度达到最小：

上面这棵树对应的A,B,C,D的编码如下：C使用了最多次，所以C的编码最简单，以这样的逻辑进行编码，那么发送的编码长度就能最小化。

这种编码方式就是可变长度编码，即允许对不同字符用不等长的二进制位表示。

A的使用次数也很高，为什么不能直接将其编码为1呢？也就是A不作为叶子节点

采用这样的编码方式，若要发送CAAABD这样的字符，则发送的二进制编码为：

0 1 1 1 111 110

接收者接收到这一串二进制编码时，可能翻译为：

导致解码错误，产生歧义。

所以A,B,C,D字符只能作为叶子节点，不能当作分支节点。

上面这样的编码也可称为前缀编码，也就是没有一个编码是另一个编码的前缀。采用这种前缀码，解码时才不会产生歧义。

上图，由于A的编码是1，与B,D有相同的前缀，所以会产生解码歧义。

注：之前讲过，对于给定的叶子节点，哈夫曼树是不唯一的，所以哈夫曼编码也是不唯一的。

由于哈夫曼编码能使发送的数据长度达到最小，所以哈夫曼编码也用于数据的压缩。

上图中哈夫曼编码的长度为130，加权平均长度为计算得到的WPL与各编码的权值之和的比值：130/80+10+2+8=13/10