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  • • 问题描述
    • 分治算法
    • 时间复杂性
    • `Python`实现

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系列专栏：分治算法

学习指南：Python学习指南

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问题描述

• 在一个$2^k\times 2^k$个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘
• 用$4$种不同形态的$L$型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何$2$个$L$型骨牌不得重复覆盖

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分治算法

• 当$k>0$时，将$2^k\times 2^k$棋盘分割为$4$个$2^{k-1}\times 2^{k-1}$子棋盘，特殊方格必位于$4$个较小子棋盘之一中，其余$3$个子棋盘中无特殊方格
• 为了将这$3$个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个$L$型骨牌覆盖这$3$个较小棋盘的会合处

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时间复杂性

$$T(k)=\{\begin{array}{ll}O(1)& k=0\\ 4T(k-1)+O(1)& k>0\end{array}$$

$$T(k)=O(4^k)$$

• 由于覆盖一个$2^k\times 2^k$棋盘所需的$L$型骨牌个数为$(4^k-1)/3$，故算法是一个在渐进意义下最优的算法

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Python实现

def chessboard_cover(board, tr, tc, dr, dc, size):
    """
    :param board: 棋盘
    :param tr: 棋盘左上角行号
    :param tc: 棋盘左上角列号
    :param dr: 特殊方格行号
    :param dc: 特殊方格列号
    :param size: 棋盘大小
    """
    global tile_count

    # 基本情况: 棋盘大小为 1, 直接放置骨牌
    if size == 1:
        return

    t = tile_count
    tile_count += 1

    # 将棋盘分成 4 个子棋盘
    s = size // 2

    # 左上子棋盘
    if dr < tr + s and dc < tc + s:
        chessboard_cover(board, tr, tc, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t
        chessboard_cover(board, tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s)

    # 右上子棋盘
    if dr < tr + s and dc >= tc + s:
        chessboard_cover(board, tr, tc + s, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s - 1][tc + s] = t
        chessboard_cover(board, tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s)

    # 左下子棋盘
    if dr >= tr + s and dc < tc + s:
        chessboard_cover(board, tr + s, tc, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s][tc + s - 1] = t
        chessboard_cover(board, tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s)

    # 右下子棋盘
    if dr >= tr + s and dc >= tc + s:
        chessboard_cover(board, tr + s, tc + s, dr, dc, s)
    else:
        board[tr + s][tc + s] = t
        chessboard_cover(board, tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s)


size = 8
board = [[0] * size for _ in range(size)]

special_row = 3
special_col = 4

board[special_row][special_col] = -1

tile_count = 0

chessboard_cover(board, 0, 0, special_row, special_col, size)

for row in board:
    print(row)

[2, 2, 3, 3, 7, 7, 8, 8]
[2, 1, 1, 3, 7, 6, 6, 8]
[4, 1, 5, 5, 9, 9, 6, 10]
[4, 4, 5, 0, -1, 9, 10, 10]
[12, 12, 13, 0, 0, 17, 18, 18]
[12, 11, 13, 13, 17, 17, 16, 18]
[14, 11, 11, 15, 19, 16, 16, 20]
[14, 14, 15, 15, 19, 19, 20, 20]

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