A V L树

news2024/11/20 12:32:30

概念

在之前介绍了搜索二叉树，但是当我们插入的数据若是有序或者接近于有序，那么此时查找的效率底下，于是俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，是二叉树更加平衡，从而减少平均搜索长度。

AVL树的性质

  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树的高度之差的绝对值不超过1(-1/0/1)(高度之差简称为平衡因
    在这里插入图片描述

AVL树实现

在AVL树的实现这里我们只来实现一下它的插入，我们采用记录平衡因子的方式来定义完成AVL树的实现。
我们先来定义它的节点

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子  balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

这里的_bf我们当作这个节点的平衡因子，我们默认这里的平衡因子为右子树的高度减去左子树的高度。
在我们插入之前，我们首先要遵循搜索树的规则，找到空的位置

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(KV);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			cur->_parent = parent;
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			cur->_parent = parent;
			parent->_left = cur;
		}
	}

在找到位置之后我们需要去更新平衡因子，这里有五种情况

  1. 插入的cur的位置为parent的右边的时，此时右子树的高度加一，那么parent->_bt++;
  2. 插入的cur的位置为parent的左边的时，此时右子树的高度加一，那么parent->_bt–;
  3. 更新以后，parent的平衡因子要是是0，那么更新结束，因为插入一个节点之后这个节点的_bf变为了0，代表这个新增的节点一定是插入在高度小的那边的，因此parent的所在的子树高度不变。
  4. 更新以后，parent的平衡因子要是是1或者-1，那么继续向上更新，因为插入一个节点前parent->_bf就是0，那么parent的高度变化了，因此parent的父亲的平衡因子也肯定要变化。
  5. 更新之后，parent->_bt==-2/2,parent已经不平衡了，需要进行旋转处理

旋转

右单旋

新节点插入较高左子树的左侧—左左
在这里插入图片描述
代码实现

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		parent->_left = SubLR;
		//此时SubLR可能为空
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}

		Node* parentparent = parent->_parent;

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentparent->_left)
			{
				parentparent->_left = SubL;
				SubL->_parent = parentparent;
			}
			else
			{
				parentparent->_right = SubL;
				SubL->_parent = parentparent;
			}
		}
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;
	}

左单旋

新节点插入较高右子树的右侧—右右
在这里插入图片描述
代码实现

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
		{
			SubRL->_parent = parent;
		}

		Node* parentparent = parent->_parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = SubR;
			SubR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentparent->_left)
			{
				parentparent->_left = SubR;
			}
			else
			{
				parentparent->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = parentparent;
		}
		SubRL->_bf = SubR->_bf = 0;

	}

左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧—左右
在这里插入图片描述
代码实现

void RotateLR(Node* parent)
	{
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
	}

右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧—右左
在这里插入图片描述
代码实现

void RotateRL(Node* parent)
	{
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
	}

双旋平衡因子更正

上面的就是针对于插入导致树不平衡之后对其节点进行旋转的处理，那么针对于双旋，我们都是举例插在C的位置，那么当h要是等于0和h等于一的时候插入在b/c不同的位置，又需要对平衡因子进行更正

左右双旋

在这里插入图片描述
针对于以上三种情况，我们要对平衡因子进行处理

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* Subl = parent->_left;
		Node* SubLR = Subl->_right;
		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			Subl->_bf = 0;
			SubLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			Subl->_bf = -1;
			SubLR->_bf = 0
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = Subl->_bf = SubLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

右左双旋

在这里插入图片描述
针对于以上三种情况，我们还是要对平衡因子进行处理

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		int bf = SubRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			SubR->_bf = 0;
			SubRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 1;
			SubRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = SubR->_bf = SubRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

完整代码

#pragma once
#include<assert.h>
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子  balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:

	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(KV);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			cur->_parent = parent;
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			cur->_parent = parent;
			parent->_left = cur;
		}


		//接下来需要控制平衡
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0的时候就说明这里插入的位置是正确的，直接跳出
			{
				break;
			}
			//平衡因子等于1或-1的时候，此时需要向上调整
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			//平衡因子等于2或-2的时候，此时需要旋转处理
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//右单旋
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				//左单旋
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
			}
			else
			{
				//当走到这里的时候就说明原本的树就有问题,直接报错
				assert(false);
			}

		}

		return true;
	}

	//右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;

		parent->_left = SubLR;
		//此时SubLR可能为空
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}

		Node* parentparent = parent->_parent;

		SubL->_right = parent;
		parent->_parent = SubL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = SubL;
			SubL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentparent->_left)
			{
				parentparent->_left = SubL;
				SubL->_parent = parentparent;
			}
			else
			{
				parentparent->_right = SubL;
				SubL->_parent = parentparent;
			}
		}
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;

		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
		{
			SubRL->_parent = parent;
		}

		Node* parentparent = parent->_parent;

		SubR->_left = parent;
		parent->_parent = SubR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = SubR;
			SubR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == parentparent->_left)
			{
				parentparent->_left = SubR;
			}
			else
			{
				parentparent->_right = SubR;
			}
			SubR->_parent = parentparent;
		}
		SubRL->_bf = SubR->_bf = 0;

	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* Subl = parent->_left;
		Node* SubLR = Subl->_right;
		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			Subl->_bf = 0;
			SubLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			Subl->_bf = -1;
			SubLR->_bf = 0
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = Subl->_bf = SubLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		int bf = SubRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			SubR->_bf = 0;
			SubRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			SubR->_bf = 1;
			SubRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = SubR->_bf = SubRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

private:
	Node* _root;
};

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