理解归并排序的两种方法(超详细)

news2024/12/26 23:48:37

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前言

一.方法一：归并排序

1.1 归并思路

1.1.1 递归(分解)

1.1.2 区间(排序)

1.1.3 合并拷贝回原数组(合并)

二.归并排序过程

2.1 递归(分解)图解

2.2 归并有序区间(排序)图解

2.2.1 单独一趟排序

2.2.2 有序区间递归排序

 2.2.3 数组拷贝(合并)

2.3 归并全部代码

三.方法二：归并排序(非递归)

3.1 归并思路(非递归)

3.1.1 使用gap分割

3.1.2 比较合并

3.1.3 拷贝回原数组

3.2 归并过程(非递归)

3.2.1 多趟gap

3.2.2 合并过程

 3.3.3 归并(非递归)全部代码

前言

结合图文剖析归并排序的思路；学习分治法、递归思想、gap调整区间优化。

  1. 分治法（Divide and Conquer）：归并排序是一种分治算法，它将问题分解成多个小问题，解决这些小问题，然后将它们的解决方案组合起来解决原始问题。

  2. 递归（Recursion）：归并排序的实现通常依赖于递归，这是一种在函数内部调用自身的方法。递归是解决某些问题（如树的遍历、排序等）的强大工具。

  3. 稳定性（Stability）：归并排序是一种稳定的排序算法，这意味着相等的元素在排序后保持它们原始的相对顺序。这对于某些应用场景非常重要。

  4. 时间复杂度（Time Complexity）：归并排序的最坏、平均和最佳时间复杂度都是 O(nlog⁡n)O(nlogn)，这使得它在大多数情况下都表现良好。

  5. 空间复杂度（Space Complexity）：归并排序需要 O(n)O(n) 的额外空间来存储合并过程中的临时数组，这可能限制了它在空间受限的环境中的使用。

  6. 算法效率（Algorithm Efficiency）：通过学习归并排序，您可以更好地理解不同排序算法的效率和适用场景。

  7. 代码实现：您将学会如何实现一个有效的归并排序算法，包括如何合并两个已排序的数组以及如何递归地分解和排序数组。

  8. 调试技巧（Debugging Skills）：在实现归并排序的过程中，您可能会遇到数组越界、栈溢出等错误，学习如何解决这些问题可以提高您的调试技能。

  9. 内存管理（Memory Management）：在非递归版本的归并排序中，您需要手动管理内存，包括分配和释放，这有助于您理解程序的内存使用情况。

  10. 优化（Optimization）：了解如何优化归并排序，比如在小数组中使用插入排序以减少递归调用的开销。

  11. 算法适用性（Algorithm Applicability）：知道何时使用归并排序是合适的，例如在大数据集排序或者需要稳定排序的场合。

  12. 并行计算（Parallel Computing）：归并排序可以很容易地并行化，因为它的分治结构天然适合多线程或多处理器系统。

一.方法一：归并排序

1.1 归并思路

1.1.1 递归(分解)

1.先递归(分解)，把问题分为子问题，

1.1.2 区间(排序)

2.把数组分割为不同区间（子问题）进行两区间排序

1.1.3 合并拷贝回原数组(合并)

把左右区间进行排序。注意：排序过程为：比较左右区间，排序好的先放入临时数组tmp中，再把数组tmp中的内容拷贝到原数组a中

二.归并排序过程

2.1 递归(分解)图解

//递归到最低层
	if (left >= right)
		return;
	//[left,mid][mid+1,right]有序，则可以合并，现在无序，子问题解决
	int mid = (left + right) / 2;
	MergeSort(a, left, mid, tmp);
	MergeSort(a, mid + 1, right, tmp);

递归过程如下：

如上图中的left mid ,当left>=right 时(left左区间大于或等于right右区间，也就是递归分解到个元素)；此时我们分解已经为个元素了，接下来要做的事情是：归并[left,mid][mid+1,right]有序

2.2 归并有序区间(排序)图解

2.2.1 单独一趟排序
	//归并[left,mid][mid+1,right]有序
	int begin1 = left, end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1, end2 = right;
	int index = left;

	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
		{
			tmp[index++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[index++] = a[begin2++];
		}
	}
	

	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[index++] = a[begin1++];
	}

	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[index++] = a[begin2++];
	}

​编辑

注意：[left , mid] [mid+1 , right]
这两个区间有序时，才能进行归并。
        而递归分解到不可再分时。也就是只有一个数时 ，认为它是有序的。
如：左区间为数字7 9，右区间为数字3 6 单独一趟归并排序后左右区间排序合并，2个区间变为1个区间且该合并后的区间数组内容为有序的，内容为 3 6 7 9 。递归返回时，该区间再与新的有序区间进行比较，能一直保证左右区间为有序状态，即满足归并排序的要求。

2.2.2 有序区间递归排序

那么递归排序(前面是单趟排序，这里是多趟排序)中，子问题解决后，递归返回

 2.2.3 数组拷贝(合并)
	//把数组tmp中的数据拷贝到原数组a中
	for (int i = left; i <= right; i++)
	{
		a[i] = tmp[i];
	}

这里合并拷贝完，接着就会返回上一层调用。也就是接着处理上一层、左右区间排序好的、数据更多的有序子问题

2.3 归并全部代码

归并排序，采用分治法，这里的归并排序通过(分解、排序、合并)，不断解决子问题：进行排序也就是归并排序

void PrintfArr(int*a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
}


void MergeSort(int*a, int left, int right, int*tmp)
{
	//递归到最低层
	if (left >= right)
		return;
	//[left,mid][mid+1,right]有序，则可以合并，现在无序，子问题解决
	int mid = (left + right) / 2;
	MergeSort(a, left, mid, tmp);
	MergeSort(a, mid + 1, right, tmp);


	//归并[left,mid][mid+1,right]有序
	int begin1 = left, end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1, end2 = right;
	int index = left;

	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
		{
			tmp[index++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[index++] = a[begin2++];
		}
	}
	

	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[index++] = a[begin1++];
	}

	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[index++] = a[begin2++];
	}

	//把数组tmp中的数据拷贝到原数组a中
	for (int i = left; i <= right; i++)
	{
		a[i] = tmp[i];
	}
}

void TestMergeSort()
{
	int a[] = { 3,4,2,1,5,7,8,9,4,67,2,4,9,0,10 };
	PrintfArr(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * (sizeof(a) / sizeof(a[0])));

	MergeSort(a, 0, sizeof(a) / sizeof(a[0])-1, tmp);
	PrintfArr(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	
	
}
int main()
{
	TestMergeSort();
	return 0;
}

三.方法二：归并排序(非递归)

3.1 归并思路(非递归)

3.1.1 使用gap分割

使用gap进行数组的分割处理，

3.1.2 比较合并

这里需要注意

int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;
			//[i, i + gap -1][i + gap, i + 2*gap - 1]
			//修正区间 1.只有一组：
			if (begin2 >= n)
			{
				break;
			}
			//修正区间 2.有两组：右边组没满
			if (end2 >= n)
			{
				end2 = n - 1;
			}

情况一：只有左边一组(begin2到end2没数据)不需要合并，使用break跳过

这里就不对数组中最后的元素3进行合并了，等到后面gap扩大再处理。

情况二：含两组数据[i, i + gap -1][i + gap, i + 2*gap - 1]但是右边区间数据没放满，需要修正区间

3.1.3 拷贝回原数组

把tmp数组中的内容拷贝回原数组中

3.2 归并过程(非递归)

3.2.1 多趟gap

使用多趟gap，对数组需要排序的内容进行调整，这里的gap=gap*2；使用gap的2倍增长模拟归并排序，这里就没有使用递归的方法了。仅仅是数组内存的操作。

void MergeSortNonR(int* a, int n, int* tmp)
{
	int gap = 1;
	while (gap < n)
	{
		for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)
		{
			int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
			int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;


			//[i, i + gap -1][i + gap, i + 2*gap - 1]
			//修正区间 1.只有一组：
			if (begin2 >= n)
			{
				break;
			}
			//修正区间 2.有两组：右边组没满
			if (end2 >= n)
			{
				end2 = n - 1;
			}
			MergeArr(a, begin1, end1, begin2, end2, tmp);
		}
		gap *= 2;
	}
}

3.2.2 合并过程

通过左右区间进行比较，随着前面的gap的倍数增大，合并过程中的左右区间比较的范围也程倍数增长。2:2合成4    4:4合成8    8:8合成16.........若区间越界则需要处理。

MergeArr(int* a, int begin1, int end1, int begin2, int end2, int*tmp)
{
	int index = begin1;
	int begin = begin1, end = end2;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
		{
			tmp[index++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[index++] = a[begin2++];
		}
	}

	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[index++] = a[begin1++];
	}
	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[index++] = a[begin2++];
	}

	//拷贝回原数组
	for (int i = begin; i <= end; i++)
	{
		a[i] = tmp[i];
	}

}

 3.3.3 归并(非递归)全部代码

归并排序(非递归全部代码)

void PrintfArry(int* a, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		printf("%d ", a[i]);
	}
	printf("\n");
}



MergeArr(int* a, int begin1, int end1, int begin2, int end2, int*tmp)
{
	int index = begin1;
	int begin = begin1, end = end2;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
		{
			tmp[index++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp[index++] = a[begin2++];
		}
	}

	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[index++] = a[begin1++];
	}
	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[index++] = a[begin2++];
	}

	//拷贝回原数组
	for (int i = begin; i <= end; i++)
	{
		a[i] = tmp[i];
	}

}

void MergeSortNonR(int* a, int n, int* tmp)
{
	int gap = 1;
	while (gap < n)
	{
		for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)
		{
			int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
			int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;


			//[i, i + gap -1][i + gap, i + 2*gap - 1]
			//修正区间 1.只有一组：
			if (begin2 >= n)
			{
				break;
			}
			//修正区间 2.有两组：右边组没满
			if (end2 >= n)
			{
				end2 = n - 1;
			}
			MergeArr(a, begin1, end1, begin2, end2, tmp);
		}
		gap *= 2;
	}
}


void TestMergeSortNonR()
{
	int a[] = { 24,67,2,478,2,58,0,43,2,2,561,1,1,3,5,76 };
	int* tmp = malloc(sizeof(int) * sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	PrintfArry(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));
	if (tmp == NULL)
		printf("malloc error");

	MergeSortNonR(a,sizeof(a)/sizeof(a[0]),tmp);
	PrintfArry(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));

	free(tmp);
}

int main()
{
	TestMergeSortNonR();
	return 0;	
}

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