前言

本系列博客是逐渐深入的过程，建议从零开始学习的友友不要跳过一些中间的博客。

二分查找算法简介

特点

最恶心，细节最多，最容易写出死循环的算法。

学习中的侧重点

算法原理

二分查找算法一定是数组有序的情况？答案显然是否定的，只要具有二段性就能使用二分查找算法。

模板

PS:不要死记硬背，要理解性记忆。

1. 朴素的二分模板（easy但有局限)
2. 查找左边界的二分模板（万能，细节多）
3. 查找右边界的二分模板（万能，细节多）

//朴素二分模板
while(left <= right){
	int mid = left + (right - left) / 2;//防止越界,等价于left + (right - left + 1) / 2;
	//PS:为偶数时前者为中间两数的左数，后者为右数
	if(...)
		left = mid + 1;
	else if(...)
		right = mid - 1;
	else
		return ...;
}

//查找区间左端点的模板
while(left < right){
	int mid = left + (right - left) / 2;
	if(...)
		left = mid + 1;
	else right = mid;
}
//查找区间右端点的模板
while(left < right){
	int mid = left + (right - left + 1) / 2;
	if(...)
		left = mid;
	else right = mid - 1;

PS：分类讨论的代码，就题论题即可。

题目描述

题目链接：704.二分查找

题目很简单，就是在升序数组中搜索目标值target。

算法原理

解法一：暴力解法

直接遍历一遍数组即可，时间复杂度为O(N)

解法二：二分查找算法

算法流程

• 定义 left ，right 指针，分别指向数组的左右区间。
• 找到待查找区间的中间点 mid ，找到之后分三种情况讨论：

1. arr[mid] == target 说明正好找到，返回 mid 的值；
2. arr[mid] > target 说明 [mid,right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边[left, mid -1] 的区间继续查找，即让right = mid - 1 ，然后重复找mid过程；
3. arr[mid] < target 说明 [left, mid]这段区间的值都是⼩于 target 的，因此舍去左边区间，在右边[mid + 1, right] 区间继续查找，即让 left =mid + 1 ，然后重复 找mid过程；

• 当 left 与 right 错开时，说明整个区间都没有这个数，返回 -1 。

细节问题

循环结束的条件

left > right

为什么是正确的？

暴力解法是一次一次比较，但二分是利用了数组有序的特性，即二段性来通过比较一次来去掉多余的比较，所以暴力解法既然是正确的，那么二分也是正确的。

时间复杂度

第一次循环把区间划分成n/2，第二次是n/4，直到最坏情况下循环x次，而最后只剩下一个元素。n / 2¹，n / 2²，n / 2³…n / 2^x——>2^x = n——>x = logN。

代码实现

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        //二段性可用二分
        int left = 0;
        int right = nums.size() - 1;
        //结束条件
        while(left <= right){
            //直接加有可能会超出int的范围
            //int mid = (left + right) / 2;
            //换成减法防止溢出
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] > target){
                right = mid - 1;
            }
            else if(nums[mid] < target){
                left = mid + 1;
            }
            else{
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
};