[移动通讯]【无线感知-P1】[从菲涅尔区模型到CSI模型-3][Mobius transformations-3]

news2024/12/29 11:34:16

前言:

          参考 Professor Bonfert-Taylor's  《Mobius transformations》,我们重点理解

因此莫比乌斯变换是共形映射( conformal mappinngs )以及反演特性inversion 

目录

  1.    mobious transfromation 定义
  2.    mobious transfromation 性质
  3.    mobious transfromation  例子

一   mobious transfromation 定义

      mobious 变换有时候也称为分数线性变换(fractional linear transformation)

 

  例一: Mobius transformation 

         

    满足约束条条件,是mobious transfromation.

 1.1   当c\neq 0,z\rightarrow \infty

            b,d 可以忽略,则

            f(z)=\frac{az}{cz}=\frac{a}{z}

  1.2 当 c= 0,z\rightarrow \infty

             f(z)=\frac{az+b}{d}\rightarrow \infty

       我们因此定义

         f(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{a}{c} , if \, \, z \rightarrow \infty & c \neq 0 \\ \infty, if \, \, z \rightarrow \infty & c =0 \end{matrix}\right.

1.3  c \neq 0, cz+d=0 

             z=\frac{-d}{c}

             f(z)=\frac{az+b}{0}\rightarrow \infty

因此,我们将 f 是定义在扩充复平面上的映射.

扩充复平面是指在普通的复平面z加入无穷远点构成的集合

    


二 Properties of mobious transfromation.

   

     1.1 f(z) 是非常数(non-constant )

          证明:

           先求导,导数不为0,所以f(z)不能是常数

         

            对于任意z ,f^{'}(z)\neq 0,因为导数不为0 ,所以f(z)也不能为常数

      

    1.2  非唯一性(not uniquely)

           

     如果分子分母同乘以一个constant k我们发现结果不变,所以对于给定的变换f(z) a,b,c,d并不是唯一的.

       f(z)=\frac{k(az+b)}{k(cz+d)}=f(z)

   1.3 one to one  一对一映射

           

          后面通过这点去理解 images and pre-images of infinity 无穷远的像和原像一一对应关系。


三  放射变换性质 (affine transformation )

        设 c= 0,d=1, 则 f(z)=az+b,

        因为 Mobius 变换

        ad-bc \neq0\rightarrow a \neq 0

           做旋转,膨胀,平移等操作(rotation  dilation  translation)

         i.e  b=0 时

              f(z)=az 相当于对原图像做旋转和膨胀(rotation&dilation)

         i.e  a=1 时

             f(z)=z+b 对原图像做平移(translation)

         

        通过极坐标可以很容易查看出来。

            


四  反演 变换(inveration)性质

     4.1 定义

        当 a=0,b=1,c=1,d=0: f(z)=\frac{1}{z} 这就是反演(inversion)

      

     4.2 保圆性例1: 

        设 z=re^{j\theta} 则 f(z)=\frac{1}{r}e^{-j\theta}

4.2   不过圆心的circle 反演(Inversion): 

     设圆通过mobius 变换后的图像是什么呢?

      设k=\begin{Bmatrix} z:|z-3|=1 \end{Bmatrix} 是一个半径为1的圆,中心点在3.

    那经过Mobius  Inversion 变换后的图像 f(k) 是什么呢?

     根据Inversion 定义:

                                         w=f(z)=\frac{1}{k}

                                           k=\frac{1}{w} \in K

    

   几何效果如下

4.3  过圆心的circle 反演(Inversion)

       K=\begin{Bmatrix} z:|z-1|=1 \end{Bmatrix} 是半径为1的圆,中心点在1,那么f(k)是什么?

几何意义:

   过圆心的圆通过Mobius 变换后得到一个Re(W)=\frac{1}{2}的直线

  我们总结一下映射关系

4.4: 直线的反演(Inversion)

        设直线  L=\begin{Bmatrix} {z:z=t+it,-\infty<t<\infty} \end{Bmatrix}

          则

                      

                                

参考:

https://www.youtube.com/watch?v=b6QJ6pb30q8

https://www.youtube.com/watch?v=u2e0Dc1wV2k&t=233s

默比乌斯变换_百度百科

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