前言：
参考 Professor Bonfert-Taylor's 《Mobius transformations》，我们重点理解
因此莫比乌斯变换是共形映射（ conformal mappinngs ）以及反演特性inversion
目录
- mobious transfromation 定义
- mobious transfromation 性质
- mobious transfromation 例子
一 mobious transfromation 定义
mobious 变换有时候也称为分数线性变换(fractional linear transformation)
例一： Mobius transformation
满足约束条条件,是mobious transfromation.
1.1 当
b,d 可以忽略，则
1.2 当
我们因此定义
1.3
因此，我们将 f 是定义在扩充复平面上的映射.
扩充复平面是指在普通的复平面z加入无穷远点构成的集合
二 Properties of mobious transfromation.
1.1 f(z) 是非常数（non-constant ）
证明：
先求导,导数不为0,所以f(z)不能是常数
对于任意z ，,因为导数不为0 ，所以f(z)也不能为常数
1.2 非唯一性(not uniquely)
如果分子分母同乘以一个constant k我们发现结果不变,所以对于给定的变换f(z) a,b,c,d并不是唯一的.
1.3 one to one 一对一映射
后面通过这点去理解 images and pre-images of infinity 无穷远的像和原像一一对应关系。
三 放射变换性质 （affine transformation ）
设 c= 0,d=1, 则 ,
因为 Mobius 变换
做旋转,膨胀,平移等操作（rotation dilation translation）
i.e b=0 时
相当于对原图像做旋转和膨胀（rotation&dilation）
i.e a=1 时
对原图像做平移（translation）
通过极坐标可以很容易查看出来。
四 反演 变换（inveration）性质
4.1 定义
当 这就是反演（inversion）
4.2 保圆性例1：
设 则
4.2 不过圆心的circle 反演（Inversion）：
设圆通过mobius 变换后的图像是什么呢？
设 是一个半径为1的圆，中心点在3.
那经过Mobius Inversion 变换后的图像 是什么呢？
根据Inversion 定义：
几何效果如下
4.3 过圆心的circle 反演（Inversion）
是半径为1的圆，中心点在1，那么f(k)是什么？
几何意义：
过圆心的圆通过Mobius 变换后得到一个的直线
我们总结一下映射关系
4.4： 直线的反演（Inversion）
设直线
则
参考：
https://www.youtube.com/watch?v=b6QJ6pb30q8
https://www.youtube.com/watch?v=u2e0Dc1wV2k&t=233s
默比乌斯变换_百度百科
