题目内容
给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。
算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) 。
示例 1：
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2] 输出：2.00000 解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
示例 2：
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4] 输出：2.50000 解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5
提示：
nums1.length == mnums2.length == n0 <= m <= 10000 <= n <= 10001 <= m + n <= 2000-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106
解题方法
解题思路一
暴力求解：
b比较直接的想法是直接把两个数组合并成一个数组，但是时间复杂度肯定不满足要求。
解题思路二
二分查找：
因为题目要求算法的时间复杂度应该为 O(log (m+n)) ，顺序遍历肯定是不行的，只能用类似二分查找的思路来解这个题目。
根据中位数的定义：
当 m+n是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素；
当 m+n是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素和第 (m+n)/2+1个元素的平均值。
因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k小的数，其中 k 为 (m+n)/2或 (m+n)/2+1。
所以面试题 也可以转换成 寻找两个有序数组中的第 k小的数 。
有以下三种情况需要特殊处理：
如果 A[k/2−1]\text{A}[k/2-1]A[k/2−1] 或者 B[k/2−1]\text{B}[k/2-1]B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 kkk 的值，而不能直接将 kkk 减去 k/2k/2k/2。
如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 kkk 小的元素。
如果 k=1k=1k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int length1 = nums1.length;
int length2 = nums2.length;
int totalLength = length1 + length2;
if (totalLength % 2 == 1) {
// 奇数
int midIndex = totalLength / 2;
double midValue = findKElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
return midValue;
} else {
// 偶数
int midIndex1 = totalLength / 2 - 1;
int midIndex2 = totalLength / 2;
int midValue1 = findKElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1);
int midValue2 = findKElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1);
return (midValue1 + midValue2) / 2.0;
}
}
/**
* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1]
* 进行比较
* 这里的 "/" 表示整除
* nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
* nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
* 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <=
* k-2 个
* 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
* 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的
* nums1 数组
* 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的
* nums2 数组
* 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
*/
public int findKElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
int length1 = nums1.length;
int length2 = nums2.length;
int index1 = 0;
int index2 = 0;
while (true) {
// 边界情况
if (index1 == length1) {
return nums2[index2 + k - 1];
}
if (index2 == length2) {
return nums1[index1 + k - 1];
}
if (k == 1) {
return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
}
// 正常情况
int half = k / 2;
int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;
int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;
int v1 = nums1[newIndex1];
int v2 = nums2[newIndex2];
if (v1 <= v2) {
k -= (newIndex1 - index1 + 1);
index1 = newIndex1 + 1;
} else {
k -= (newIndex2 - index2 + 1);
index2 = newIndex2 + 1;
}
}
}题解参考了官方的题解方法，链接：https://leetcode.cn/problems/median-of-two-sorted-arrays/solutions/258842/xun-zhao-liang-ge-you-xu-shu-zu-de-zhong-wei-s-114/
解题思路三
划线：
（上面图片来自网络）
思路是在两个数组上 画一条线，思路是比较简单，但是特殊情况的考虑和边界的考虑是比较困难的，非常容易出错。
class Solution {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
if (nums1.length > nums2.length) {
return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
}
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int left = 0, right = m;
// median1：前一部分的最大值
// median2：后一部分的最小值
int median1 = 0, median2 = 0;
while (left <= right) {
// 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
// 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
int i = (left + right) / 2;
int j = (m + n + 1) / 2 - i;
// nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
int nums_im1 = (i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1]);
int nums_i = (i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i]);
int nums_jm1 = (j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1]);
int nums_j = (j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j]);
if (nums_im1 <= nums_j) {
median1 = Math.max(nums_im1, nums_jm1);
median2 = Math.min(nums_i, nums_j);
left = i + 1;
} else {
right = i - 1;
}
}
return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;
}
}
