基本思想

二分查找的必要条件并不是单调，而是当我给定一个边界条件，然后左边满足这个边界条件，右边不满足这个边界条件，然后可以查找这个临界点，这就是二分查找

接下来我们具体讨论该怎么做

我们先讨论满足这个条件的一边，首先我们取mid=(l+r)/2,如果这个mid<x证明mid在x的左边，mid可能是边界所以要包含mid，所以将范围更新为[mid,r]，如果mid>x，证明mid在x的右边，由于右边是不满足条件的，所以直接把mid舍去，更新范围为[l,mid-1],以此类推最后当l==r的时候，就是边界x

第二种：我们来讨论一下不满足条件的一边，如果我们需要找到右边界x，那么首先定义一个mid=(l+r+1)/2,如果mid<x证明不满足右边条件的在右边，所以要将mid舍去，将范围更新为[mid+1,r],如果mid>x证明mid在x的右边，所以满足右边的条件，由于右边都可能存在满足条件的，所以不能舍弃边界mid，所以将边界更新为[l,mid].

大致就分为上面两种情况，注意：如果是第二种情况的时候，需要+1，因为如果不向上取整的话，会造成死循环，如果不向上取整的话，当l=r-1的时候，意思就是当l和r相差1的时候，mid始终等于l这样就产生了死循环，但是如果向上取整的话，最后mid就等于r，就会跳出循环

接下来我们了解了基本算法来练习两道题：

1.数的范围

根据题目描述可以知道，这道题可以用二分查找

#include<iostream>
using namespace std;
//数组大小和需要的变量
const int N=100000;
int a[N];
int q,n;
int main()
{
	//输入变量
    cin>>n>>q;
    //初始化数组
    for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i];
    //q行数据
    while(q>0)
    {
    	//输入需要查找的数据
        int x;
        cin>>x;
        //先定义左右边界
        int l=0,r=n-1;
        while(l<r)
        {
        	//二分
            int mid=(l+r)/2;
            //边界条件
            if(a[mid]>=x)r=mid;
            else l = mid+1;
        }
        //出循环判断l对应的值是否和x相等，如果相等则继续，如果不相等则直接打印-1 -1
        if(a[l]!=x)cout<<"-1 -1"<<endl;
        else
        {
        	//先输出上个循环的l
            cout<<l<<' ';
            //确定边界
            int l=0,r=n-1;
            //对右边界的条件进行二分
            while(l<r)
            {
                int mid=(l+r+1)/2;//向上取整，防止死循环
                if(a[mid]<=x)l=mid;
                else r=mid-1;
            }
            //输出有边界
            cout<<l<<endl;
        }
        q--;
    }
    return 0;
}

2.搜索旋转排序数组

思路：首先这道题要求时间复杂度是O(logn)，那么首先想到的就是二分，虽然这道题给的不是一个完整的有序的数组，但是是局部有序的 ，我们二分之后总是能保证左区间或者右区间是有序的，所以我们只需要判断一个有序区间是否存在这个数，如果不存在说明在另一个区间，直接else进入另一个区间，所以第一个大的if else是讨论左区间和右区间的有序性，第二个if else是讨论是在左区间或者右区间，去对这个数组的范围进行更新，范围条件，如果mid对应的值和target相等直接返回下标mid，如果最后不相等，直接跳出循环返回-1

代码展示

int search(int* nums, int numsSize, int target) {
    if(numsSize==1)
    {
        return nums[0]==target?0:-1;
    }
    int l=0;
    int r=numsSize-1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(nums[mid]==target)
        {
            return mid;
        }
        if(nums[mid]>=nums[l])
        {
            if(nums[mid]>target&&nums[l]<=target)
            {
                r=mid-1;
            }
            else
            {
                l=mid+1;
            }
        }
        else{
            if(nums[mid]<target&&target<=nums[r])
            {
                l=mid+1;
            }
            else
            {
                r=mid-1;
            }
        }
    }
    return -1;
}

3.搜索插入位置

这道题也是一个简单的二分，注意边界条件即可

int searchInsert(int* nums, int numsSize, int target) {
    if(target>nums[numsSize-1])
    {
        return numsSize;
    }
    int l=0,r=numsSize-1;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if(nums[mid]>=target)r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}

4.x的平方根

这道题是一道简单的二分

首先定义左边界和右边界，然后定义一个范围值ans，然后进行二分如果中间值的平方<=x说明答案在右边，将ans更新，然后更新区间范围，如果两个数的乘积大于x的话说明在在区间的左边，所以更新r，由于我们需要的是向下取整，所以在更新l的时候，就直接更新ans，如果在r变化的时候更新ans会使最后的ans变大

int mySqrt(int x) {
    int l=0;
    int r=x;
    int ans=-1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        if((long long)mid*mid<=x)
        {
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }
        else
        {
            r=mid-1;
        }
    }
    return ans;
}

总结

当你理解了二分查找的原理，并且掌握了它的实现方法，你就掌握了一种高效查找数据的技巧。二分查找是一种简单而又强大的算法，在处理大规模数据时能够显著提高搜索效率。通过不断地练习和应用，你可以在编程的世界里更加游刃有余地运用这一技巧。希望本文对你有所启发，能够帮助你更深入地理解二分查找算法，并在实际应用中发挥其作用。在编程的道路上，不断学习，不断进步，愿你能够越走越远，探索更多的算法与数据结构的奥秘。