高级树结构之平衡二叉树（ALV树）

news2024/11/17 13:43:53

文章目录

  • 平衡二叉树简介
  • 失衡类型&处理办法
    • RR型失衡【左旋调整】
      • 调整演示
      • 代码实现
    • LL型失衡【右旋调整】
      • 调整演示
      • 代码实现
    • RL型失衡【先右旋后左旋调整】
      • 调整演示
      • 代码实现
    • LR型失衡【先右旋后左旋调整】
      • 调整演示
      • 代码实现
    • 插入操作
    • 综合代码演示

平衡二叉树简介

  • 在数据有序的情况下，进行动态二叉树的创建时，二叉树会变得非常长。那么在进行查找某个节点的时候，就会变成线性查找。
    在这里插入图片描述
  • 平衡二叉树：一颗左子树和右子树的深度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树的二叉排序树。
    • 注意：空树也是一颗平衡二叉树
  • 平衡二叉树的性质：
    • 平衡二叉树是一颗二叉查找树
    • 任意节点的左右子树也是一颗平衡二叉树
    • 从根节点开始，左右子树的高度差不超过1，否则视为不平衡
  • 平衡因子：二叉树上结点的左子树的高度减去右子树高度得到的结果为该节点的平衡因子
    在这里插入图片描述
  • 通过平衡因子的计算，可以判断二叉树是否失衡
    在这里插入图片描述
  • 为此，我们需要对失衡的二叉树进行调整使其保持平衡

失衡类型&处理办法

  • 为了保证二叉树的平衡，需要将其进行旋转来维持平衡，去纠正最小不平衡子树即可

RR型失衡【左旋调整】

  • RR型最小不平衡子树模型
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

调整演示

  • 从根节点开始向右的三个结点进行左旋操作。左旋操作要将这三个结点中间的结点作为新的根节点，其他两个结点变为左右子树
    在这里插入图片描述

代码实现

int max(int a,int b) {
    return a>b ? a:b;
}

int getHeight(Node root) {
    if(root==NULL) return 0;
    return root->height;
}

//RR调整:左旋转
Node leftRotation(Node root) {
    Node newNode=root->right;
    root->right=newNode->left;
    newNode->left=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

LL型失衡【右旋调整】

  • LL型最小不平衡子树模型
    在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

  • 通过计算平衡因子，找到最小不平衡子树
    在这里插入图片描述

调整演示

  • 从根节点开始向左的三个结点进行右旋操作。右旋操作要将这三个结点中间的结点作为新的根节点，其他两个结点变为左右子树
    在这里插入图片描述

代码实现

int max(int a,int b) {
    return a>b ? a:b;
}

int getHeight(Node root) {
    if(root==NULL) return 0;
    return root->height;
}

//LL调整:右旋转
Node rightRotation(Node root) {
    Node newNode=root->left;
    root->left=newNode->right;
    newNode->right=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

RL型失衡【先右旋后左旋调整】

  • RL型最小不平衡子树模型
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

调整演示

  • 对于先右边后左边的情况，需要先右旋后左旋
  • 注意：右旋操作针对两个结点
    在这里插入图片描述

代码实现

int max(int a,int b) {
    return a>b ? a:b;
}

int getHeight(Node root) {
    if(root==NULL) return 0;
    return root->height;
}

//RR调整:左旋转
Node leftRotation(Node root) {
    Node newNode=root->right;
    root->right=newNode->left;
    newNode->left=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

//LL调整:右旋转
Node rightRotation(Node root) {
    Node newNode=root->left;
    root->left=newNode->right;
    newNode->right=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}


//RL调整:先右旋，后左旋
Node rightLeftRotation(Node root) {
    //注意这里如果newNode的right指向可以为空，符合案例的要求
    root->right= rightRotation(root->left);
    //然后左旋并返回根节点
    return leftRotation(root);
}

LR型失衡【先右旋后左旋调整】

  • LR型最小不平衡子树模型
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

调整演示

  • 先左旋，后优旋
    在这里插入图片描述

代码实现

int max(int a,int b) {
    return a>b ? a:b;
}

int getHeight(Node root) {
    if(root==NULL) return 0;
    return root->height;
}

//RR调整:左旋转
Node leftRotation(Node root) {
    Node newNode=root->right;
    root->right=newNode->left;
    newNode->left=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

//LL调整:右旋转
Node rightRotation(Node root) {
    Node newNode=root->left;
    root->left=newNode->right;
    newNode->right=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

//LR调整:先左旋，后右旋
Node leftRightRotation(Node root) {
    //注意这里如果newNode的left指向可以为空，符合案例的要求
    root->left= leftRotation(root->left);
    //然后右旋并返回根节点
    return rightRotation(root);
}

插入操作

  • 插入结点时要注意维护整棵树的平衡因子保证其处于稳定状态，防止其退化。
  • 插入结点的思路大体上与创建二叉排序数类似
  • 同时要注意时刻保持数的平衡性。最后在查入完成后，记得及时更新节点的高度
Node insert(Node root,E element) {
    //如果结点为NULL，说明找到了插入的位置
    //小于相对根节点的往左边放
    //大于相对根节点的往右边放
    if(root == NULL) {
        root= createNode(element);
    }else if(element < root->element) {
        root->left= insert(root->left,element);
        //插入完成之后，计算平衡因子 判断是否失衡 并进行相关的调整
        if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right)> 1) {
            //然后判断插入的数值在左子树的右边还是左边，如果在左边就是LL调整【右旋】否则就是LR调整【先左旋，后右旋】
            if(element < root->left->element) {
                root= rightRotation(root);//LL型右旋之后，得到新的根节点
            }else {
                root= leftRightRotation(root);//LR型 先左旋后右旋，得到新的根节点
            }
        }
    }else if(element > root->element) {
        root->right= insert(root->right,element);
        //插入完成之后，计算平衡因子 判断是否失衡 并进行相关的调整
        if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right) < -1) {
            //然后判断插入的数值在右子树的右边还是左边，如果在右边就是RR调整【左旋】否则就是RL调整【先右旋，后左旋】
            if(element > root->right->element)
                root= leftRotation(root);//RR型左旋之后，得到新的根节点
            else
                root= rightLeftRotation(root);//RL型 先右旋后左旋，得到新的根节点
        }

    }
    //最后更新最新的结点的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    //最后返回root到上一级
    return root;
}

综合代码演示

  • 这里将之前各个部分的档案码全部展示出来，有不明白的可以直接粘贴复制进行调试探究
  • 演示二叉树的结构
    在这里插入图片描述
#include<iostream>
using namespace std;
typedef int E;
typedef struct TreeNode{
    E element;
    struct TreeNode * left;
    struct TreeNode * right;
    //每个结点需要记录当前子树的高度，便于计算平衡因子
    int height;
}* Node;

Node createNode(E element) {
    Node node=(Node)malloc(sizeof(struct TreeNode));
    node->left=node->right=NULL;
    node->element=element;
    node->height=1;//树的初始化高度为1
    return node;
}

int max(int a,int b) {
    return a>b ? a:b;
}

int getHeight(Node root) {
    if(root==NULL) return 0;
    return root->height;
}

//RR调整:左旋转
Node leftRotation(Node root) {
    Node newNode=root->right;
    root->right=newNode->left;
    newNode->left=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

//LL调整:右旋转
Node rightRotation(Node root) {
    Node newNode=root->left;
    root->left=newNode->right;
    newNode->right=root;
    //计算结点高度的时候，不要忘记算上自身的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    newNode->height=max(getHeight(newNode->left), getHeight(newNode->right))+1;
    return newNode;
}

//LR调整:先左旋，后右旋
Node leftRightRotation(Node root) {
    //注意这里如果newNode的left指向可以为空，符合案例的要求
    root->left= leftRotation(root->left);
    //然后右旋并返回根节点
    return rightRotation(root);
}

//RL调整:先右旋，后左旋
Node rightLeftRotation(Node root) {
    //注意这里如果newNode的right指向可以为空，符合案例的要求
    root->right= rightRotation(root->left);
    //然后左旋并返回根节点
    return leftRotation(root);
}

Node insert(Node root,E element) {
    //如果结点为NULL，说明找到了插入的位置
    //小于相对根节点的往左边放
    //大于相对根节点的往右边放
    if(root == NULL) {
        root= createNode(element);
    }else if(element < root->element) {
        root->left= insert(root->left,element);
        //插入完成之后，计算平衡因子 判断是否失衡 并进行相关的调整
        if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right)> 1) {
            //然后判断插入的数值在左子树的右边还是左边，如果在左边就是LL调整【右旋】否则就是LR调整【先左旋，后右旋】
            if(element < root->left->element) {
                root= rightRotation(root);//LL型右旋之后，得到新的根节点
            }else {
                root= leftRightRotation(root);//LR型 先左旋后右旋，得到新的根节点
            }
        }
    }else if(element > root->element) {
        root->right= insert(root->right,element);
        //插入完成之后，计算平衡因子 判断是否失衡 并进行相关的调整
        if(getHeight(root->left) - getHeight(root->right) < -1) {
            //然后判断插入的数值在右子树的右边还是左边，如果在右边就是RR调整【左旋】否则就是RL调整【先右旋，后左旋】
            if(element > root->right->element)
                root= leftRotation(root);//RR型左旋之后，得到新的根节点
            else
                root= rightLeftRotation(root);//RL型 先右旋后左旋，得到新的根节点
        }

    }
    //最后更新最新的结点的高度
    root->height=max(getHeight(root->left), getHeight(root->right))+1;
    //最后返回root到上一级
    return root;
}

void inOrder(Node root) {
    if(root==NULL) return ;
    inOrder(root->left);
    cout<<root->element<<" ";
    inOrder(root->right);
}

int main() {
    Node root=NULL;
    root= insert(root,15);
    root= insert(root,20);
    root= insert(root,12);
    root= insert(root,11);
    root= insert(root,13);
    root= insert(root,14);
    inOrder(root);
    return 0;
}

在这里插入图片描述
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