[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第54讲。

正整数分解，本题是2020年12月20日举办的第12届蓝桥杯青少组Python编程省赛真题，第12届一共有两场省赛，这是第一场。题目要求将输入的正整数N分解成3个各不相同的正整数，并且不包含数字2和4。

先来看看题目的要求吧。

一.题目说明

编程实现：

输入一个正整数N（10 < N < 1000），然后将N分解成3个各不相同的正整数，即3个正整数之和为N。且要求每个正整数中都不包含数字2和4，输出一共有多少种不同的分解方法。

例如：输入的正整数N为12

将12分解为3个不同的正整数，且每个正整数都不包含数字2和4为：1，3，8和1，5，6。一共有两种分解方法。

注意：数字相同顺序不同的算一种分解方法。

输入描述：

输入一个正整数N（10 < N < 1000）

输出描述：

输出一共有多少种不同的分解方法

样例输入：

12

样例输出：

2

二.思路分析

这是一道排列组合题，考查的知识点主要包括循环、条件、字符串运算和枚举算法。

针对组合问题，在Python编程中一般有如下两种解决方案

• 枚举算法

• 使用combinations()组合函数

先来讨论枚举算法的实现方案，为了方便理解，我们通过两个实例来演示枚举的过程。

先以数字N = 12为例，将12拆分成3个互不相同的正整数，以1开头的有4种，如下：

1, 2, 91, 3, 81, 4, 71, 5, 6

以2开头的有2种，如下：​​​​​​​

2, 3, 72, 4, 6

以3开头的有1种，如下：

3, 4, 5

再以数字N = 18为例，将18拆分成3个互不相同的正整数，以1开头的有7种，如下：​​​​​​​

1, 2, 151, 3, 141, 4, 131, 5, 121, 6, 111, 7, 101, 8, 9

以2开头的有5种，如下：​​​​​​​

2, 3, 132, 4, 122, 5, 112, 6, 102, 7, 9

以3开头的有4种，如下：​​​​​​​

3, 4, 113, 5, 103, 6, 93, 7, 8

以4开头的有2种，如下：

4, 5, 94, 6, 8

以5开头的有1种，如下：

5, 6, 7

你发现这里的规律了吗？

如果用i、j、k来表示这3个正整数，可以发现如下3条规律：

1). i < j < k，因为（5, 6, 7）和（6, 5, 7）是相同的组合，只需要考虑前者就可以了；

2). i每次都是从1开始的，到 N // 3结束，这个也比较好理解，如果i，j，k三者相等，那么 i = j = k = N // 3，基于第一条规律，i的最大值也只能是N // 3；

3). j每次都是从 i + 1开始的，到 N // 2结束，这个怎么理解呢，因为j < k，取极端情况，i = 1，j = k，那么i +  j + k = 1 + j + j = N，由此可知，j = （N - 1）// 2。

搞清楚这3条，就可以使用枚举算法，获取所有的组合，然后去掉包含数字2和4的组合。

第二种方案则是直接使用combinations()组合函数，相当于把枚举的活儿交给专业人士来干。

思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。

三.编程实现

根据上面的思路分析，我们使用两种方案来编写程序：

• 枚举算法

• 组合函数

1. 枚举算法

根据前面的思路分析，我们编写代码如下：

代码不多，说明3点：

1). i和j的最大取值分别是 n // 3、n //2，由于range()函数虎头蛇尾的特点，需要加1；

2). 判断数字中是否包含2和4，最简单的方法就是使用字符串的in运算符，但是需要将整数转成字符串；

3). 对于k的取值，使用循环是可以的，但是直接利用 i + j + k = n的条件，可以省略循环，只需要确保 k > j，并且不包含数字2和4即可，这样可以极大地减少程序循环的次数，提升效率。

2. 组合函数

直接使用combinations()函数，编写代码如下：

代码比较简单，强调3点：

1). 要先导入combinations()函数；

2). combinations()函数的第一个参数是可迭代对象，这里使用range()函数生成了1到n之间的整数序列，这个范围也可以缩小到(n - 2)，因为i最小值是1，j最小值为2；

3). combinations()函数返回的是元组，直接使用sum()函数对元组求和，同时过滤掉包含2和4的组合。

至此，整个程序就全部完成了，你可以输入不同的数字来测试效果啦

四.总结与思考

本题代码在12行左右，涉及到的知识点包括：

• 循环语句，尤其是嵌套循环；

• 条件语句；

• 字符串运算；

• continue语句；

• 枚举算法；

这是本次省赛的第5题，难度中等。关键点有两个，一是如何获取所有的组合，二是如何过滤掉包含数字2和4的组合。

其中，对于组合的获取，在Python编程中，常见的方案就是循环枚举和组合函数。

对于枚举算法，需要根据实际情况来确定循环的层数，同时要对程序进行优化。包括两个方面，一是减少循环的层数，二是减少每一层循环的次数，从而提高程序的效率。

对于组合函数而言，这是Python给我们的小惊喜，尤其是combinations()和permutations()函数。真的是太好用了，能有就有，该用就用，可不要辜负了Python的一番美意。

超平老师给你留一道经典的算法入门题，看看你能否解决：

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给你一个整数数组nums ，判断是否存在三元组[nums[i], nums[j], nums[k]]

满足 i != j、i != k 且 j != k ，同时还满足 nums[i] + nums[j] + nums[k] == 0 。请你返回所有和为0且不重复的三元组。

注意：答案中不可以包含重复的三元组。

示例1：

输入：nums = [-1,0,1,2,-1,-4]
输出：[[-1,-1,2],[-1,0,1]]
解释：
nums[0] + nums[1] + nums[2] = (-1) + 0 + 1 = 0 。
nums[1] + nums[2] + nums[4] = 0 + 1 + (-1) = 0 。
nums[0] + nums[3] + nums[4] = (-1) + 2 + (-1) = 0 。
不同的三元组是 [-1,0,1] 和 [-1,-1,2] 。
注意，输出的顺序和三元组的顺序并不重要。

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