今日任务：
1）343. 整数拆分
2）96.不同的二叉搜索树
3）复习day11
343. 整数拆分
题目链接：343. 整数拆分 - 力扣（LeetCode）
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。 示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
文章讲解：代码随想录 (programmercarl.com)
视频讲解：动态规划，本题关键在于理解递推公式！| LeetCode：343. 整数拆分哔哩哔哩bilibili
思路：
1. 创建一个一维数组
dp，其中dp[i]表示将正整数i拆分后得到的最大乘积。2. 初始时，将
dp[0]和dp[1]都设为0，因为0和1无法拆分成至少两个正整数的和。3. 对于正整数
i，从1开始遍历到i-1，对每个位置j，计算将i拆分成j和i-j的和，然后将这两部分的最大乘积相乘得到当前的最大乘积。4. 在计算
dp[i]时，需要考虑i-j是否继续拆分，如果i-j继续拆分后的最大乘积大于i-j本身，那么就可以继续拆分，否则不拆分。5. 最后返回
dp[n]，即正整数n拆分后得到的最大乘积。
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
dp = [0] * (n + 1)
dp[2] = 1 # 2只能拆分为1+1，所以初始为1
for i in range(3, n + 1):
for j in range(1, (i+1)//2+1):
# 将i拆分成j和i-j，比较i-j的拆分结果与i-j本身的乘积，取最大值
dp[i] = max(dp[i], max(j * dp[i - j], j * (i - j)))
return dp[n]第二层for循环时，最初的想法从1遍历到i-1，去拆分。但实际上，由于对称性，只需要遍历到i的一半就足够了。这样做可以减少不必要的计算，提高代码效率。
刚才的思路是动态规划，这题我们还可以找寻数学规律去做
- 首先考虑特殊情况，当n为2时，最大乘积为1；当n为3时，最大乘积为2。
- 对于其他大于3的n，尽可能多地拆分成3，并计算拆分后的乘积。
- 根据数学规律，当n为3的倍数时，将n全部拆分为3可以得到最大乘积。
- 当n除以3余数为1时，将最后一个3拆分为2*2可以得到更大的乘积。
- 当n除以3余数为2时，直接拆分为3的乘积即可。
class Solution:
def integerBreak(self, n: int) -> int:
# 如果n为2，只能拆分为1+1，所以乘积为1
if n == 2:
return 1
# 如果n为3，只能拆分为1+2，所以乘积为2
if n == 3:
return 2
# 如果n可以被3整除，全部拆分为3的乘积会得到最大值
if n % 3 == 0:
return 3 ** (n // 3)
# 如果n除以3余数为1，那么将最后的3拆分为2*2可以得到更大的乘积
if n % 3 == 1:
return 3 ** ((n - 4) // 3) * 4
# 如果n除以3余数为2，直接拆分为3的乘积
if n % 3 == 2:
return 3 ** (n // 3) * 296.不同的二叉搜索树
题目链接：96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？ 示例 1： 输入：n = 3 输出：5 解析：[1,None,3,2,None],[1,None,2,None,3],[2,1,3],[3,2,None,1,None],[3,1,None,,None,2] 示例 2： 输入：n = 1 输出：1
文章讲解：代码随想录 (programmercarl.com)
视频讲解：动态规划找到子状态之间的关系很重要！| LeetCode：96.不同的二叉搜索树哔哩哔哩bilibili
思路：
这个问题可以通过动态规划来解决。我们可以定义一个数组
dp，其中dp[i]表示以1 ... i为节点组成的二叉搜索树的数量。然后，我们可以通过迭代计算dp[i]的值，直到dp[n]为止。1. 当
n = 0或n = 1时，只有一种情况，即空树或只有一个节点的树，此时dp[0] = dp[1] = 1。
2. 对于任意
i，我们可以将2... i中的每个数字都作为根节点，然后分别计算左子树和右子树的数量，最后将左右子树的数量相乘即可得到以i为根节点的二叉搜索树的数量。这个过程可以表示为dp[i] = sum(dp[j - 1] * dp[i - j])，其中j表示根节点的值。
- 当n = 2 有两个节点时：
- 我们以1为根节点时，其左子树没有节点，故左子树只有一种情况，那就是空，右子树只有一个节点，那就是n=1的情况故为1。组合起来有1*1=1种情况
- 我们以2为根节点时，其左子树只有一个节点，那就是n=1的情况故为1，右子树没有节点故为空一种情况。组合起来有1*1=1种情况
- 故合起来n = 2 有两个节点时有1+1=2两种情况
- 当n = 3 有三个节点时：
- 我们以1为根节点时，其左子树没有节点故为空1种情况，右子树只有两个节点，那就是n=2的情况故为2。组合起来有1*2=2种情况
- 我们以2为根节点时，其左右子树只有一个节点，那就是n=1的情况故为1，组合起来有1*1=1种情况
- 我们以3为根节点时，其左子树只有两个节点，那就是n=2的情况故为2，右子树没有节点故为空1种情况
- 合起来n = 2 有两个节点时有2+1+2=5两种情况
3.最终返回
dp[n]即可。
class Solution:
def numTrees(self, n: int) -> int:
# 初始化动态规划数组，dp[i] 表示以 1 ... i 为节点组成的二叉搜索树的数量
dp = [0] * (n + 1)
dp[0]= 1
for i in range(1, n + 1):
for j in range(i):
dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]
return dp[n]
