算法题解记录13+++杨辉三角（百日筑基）

news2025/2/7 13:15:30

本题是动态规划的问题，我也在此阐述我对动态规划的理解，如有不准确、缺失、错误，敬请斧正。

题目描述：

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

提示:

1 <= numRows <= 30

解题准备：

1.了解杨辉三角：杨辉三角不是传统意义上的某种结构，而是一种具有规律的特殊结构，其满足：第一，对于每一行，第一个和最后一个数据都为1===第二，对于每一行，除开第一个和最后一个数据，其它数据等于前一行前一列+前一行同列。【边界值除外，比如第一行】（如果把它看成一个L型的直角三角形则更好理解）

2.理顺题目要求：生成numRows的杨辉三角。所以首要目的是了解杨辉三角。

解题难点1分析：

难点1：存储问题

其实很容易知道，杨辉三角的第i行数据，取决于第i-1行数据，我们首要考虑的，是如何存储第i-1行数据。

有人说，这也难？第一行用个List<Integer> list，然后list.add(1)，同理第i-1行，list.add(i-1【的结构】)顺手的事。

不过，list存储没有问题，却消除了第i行和第i-1行之间的列关系（行关系也删除了），而且既不知道i-1行，第i行的数据从何而来？如果再深入，不知道i-2行，第i-1行从何而来？

所以得思考：

如何保持第i行和第i-1的行、列关系？

其实杨辉三角完全可以看成一个numRows*numRows的矩阵。

对于第i行，后面numRos-i的数据都为0，前i个数据为真实数据。【这里的i，从1开始，不是计算机里从0开始】

如果用矩阵存储，那么第1行数据，有matrix【1】【1】=1

第2行，matrix【2】【1】=1；matrix【2】【2】=1；

重点是，第3行及之后，matrix【3】【1】=1；matrix【3】【2】=2；matrix【3】【3】=1；===可以发现，matrix【3】【2】恰好等于matrix【2】【1】+matrix【2】【2】，即解题准备的问题。

因此，使用矩阵（也就是二维数据，即可很好地存储第i行和i-1行的行、列关系）

节约空间：

不过，矩阵的存储，明显要浪费掉接近一半的空间。

已知，杨辉三角，对于第i行，其元素个数=第i-1行的个数+1，有此规律，可以创建更为精简的动态增加的数组，毕竟Java的数组允许事先不new。

难点2：理解问题

有人会有疑问：我知道杨辉三角的规律，可是写起来还是非常困惑。

既然第i行和第i-1行有关系，可是事先只知道第一行？（也许有第二行）

因此，杨辉三角理论上可以用递归的方式解答，不过代码比较难写，因为要输入一个含有i个数据的数组，返回i+1个数据的数组，结束条件为：如果i==1，返回【1】。

有是有，但是写起来相当麻烦和抽象。

不过动态规划的思想解决了该问题，动态规划：把大问题分解成小问题，记录这些小问题的解，最终形成整体答案。

既然只知道第一行和第二行，那么第三行算出来后，记录下来（存储在矩阵里），计算第四行时，再使用不就行了？

我们有第一行的解，就能算出第二行，有第i-1行的解，就能算出第i行。

此时，我们已经有了最小问题的解，把过程数据记录下来，就能算出答案。

代码：

class Solution {
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        Integer data[][] = new Integer[numRows][];
        data[0]=new Integer[1];
        data[0][0]=1; // 第一行，最小问题的解

        // 要求生成numRows行杨辉，从1开始是因为第一行已经生成
        for(int i=1; i<numRows; i++){
            data[i]=new Integer[i+1];
            data[i][0]=1; // 前后一定是1
            data[i][i]=1;
            // 从1开始，因为0已经赋值，到达i-1，因为i也被赋值
            for(int j=1; j<i; j++){
                data[i][j]=data[i-1][j-1]+data[i-1][j];
            }
        }

        // asList表示把数组转变为list
        for(Integer[] rows:data){
            result.add(Arrays.asList(rows));
        }

        return result;
    }
}