【位运算贪心】2835. 使子序列的和等于目标的最少操作次数

news2024/12/23 9:56:40

算法可以发掘本质，如：
一，若干师傅和徒弟互有好感，有好感的师徒可以结对学习。师傅和徒弟都只能参加一个对子。如何让对子最多。
二，有无限多1X2和2X1的骨牌，某个棋盘若干格子坏了，如何在没有坏的格子放足够多骨牌。
三，某个单色图，1表示前前景，0表示后景色。每次操作可以将一个1，变成0。如何在最少得操作情况下，使得没有两个1相邻（四连通）。
四，若干路人，有些人是熟人，如何选出最多的人参加实验。为了避免熟人影响实验的效果，参加的人不能是熟人。
一二是二分图的最大匹配，三是二分图的最小点覆盖，四是二分图最大独立集。而这三者是等效问题。

本文涉及知识点

位运算贪心

LeetCode 2835. 使子序列的和等于目标的最少操作次数

给你一个下标从 0 开始的数组 nums ，它包含非负整数，且全部为 2 的幂，同时给你一个整数 target 。
一次操作中，你必须对数组做以下修改：
选择数组中一个元素 nums[i] ，满足 nums[i] > 1 。
将 nums[i] 从数组中删除。
在 nums 的末尾添加两个数，值都为 nums[i] / 2 。
你的目标是让 nums 的一个子序列的元素和等于 target ，请你返回达成这一目标的最少操作次数。如果无法得到这样的子序列，请你返回 -1 。

数组中一个子序列是通过删除原数组中一些元素，并且不改变剩余元素顺序得到的剩余数组。

示例 1：

输入：nums = [1,2,8], target = 7
输出：1
解释：第一次操作中，我们选择元素 nums[2] 。数组变为 nums = [1,2,4,4] 。
这时候，nums 包含子序列 [1,2,4] ，和为 7 。
无法通过更少的操作得到和为 7 的子序列。
示例 2：

输入：nums = [1,32,1,2], target = 12
输出：2
解释：第一次操作中，我们选择元素 nums[1] 。数组变为 nums = [1,1,2,16,16] 。
第二次操作中，我们选择元素 nums[3] 。数组变为 nums = [1,1,2,16,8,8] 。
这时候，nums 包含子序列 [1,1,2,8] ，和为 12 。
无法通过更少的操作得到和为 12 的子序列。
示例 3：

输入：nums = [1,32,1], target = 35
输出：-1
解释：无法得到和为 35 的子序列。

提示：

1 <= nums.length <= 1000
1 <= nums[i] <= 2³⁰
nums 只包含非负整数，且均为 2 的幂。
1 <= target < 2³¹

位运算

target可以拆分成 2ⁱ¹+2ⁱ²+ $\cdots$ + 2 ⁱⁿ
性质一：如果2^j1+2^j2 $\dots$ +2^jm >= 2ⁱ 且 j1到jm都小于等于i。
则一定可以从 j1,j2 $\cdots$ jm 中选择若干数，使得其和等于2ⁱ。
证明：
i = 0 时。 2⁰=2⁰.
x>=1，如果i=x，性质一成立，则i=x+1，性质一也成立。
由于左式 >= 2^x+1 > 2^x 故左式可以抽取s = 2^x
左式 - S >= 2^x,故还可以抽取S2 = 2^x
S+S2和在一起，就是2^x+1
性质二：
令集合 T = {2^j1,2^j2 $\cdots$ , 2^jm} , T 中可能有重复的数据。
令集合S ={ 2ⁱ¹,2ⁱ²+ $\cdots$ , 2ⁱⁿ }，其中i1<i2 < $\cdots$ in S的和等于target
$\forall i(i \in{i1,i2,\cdots,in}) \quad targeti = \sum_{x <= 2^i }，x\in S \quad Ti=\sum_{x <= 2^i }x,x\in T$
如果Ti大于等于targeti $\iff$ 本题
情况一：target只有一项，就是性质一。
情况二：如果target有x项成立，则x+1项也成立。移除x项后，就成了性质一。

解法
通过i从低位到高位枚举target，其和记录到：iNeed。
cur = 1 << i 。
nums中小于等于cur的加到llHas中。
如果 llHas < iNeed，则拆分nums中的最小元素next到cur，如果无元素可拆分，则返回-1。
拆分后：一个cur加到llHas, next/2 next/4 $\dots$ cur 加到setNum。

本解法用的多键集合，其实用大根堆更简洁。

代码

核心代码

class Solution {
public:
	int minOperations(vector<int>& nums, int target) {
		std::multiset<int> setNum(nums.begin(), nums.end());
		int iRet = 0;
		long long llHas	= 0;
		int iNeed = 0;
		for (int i = 0; i <= 30; i++) {
			const int cur = 1 << i;
			while (setNum.size() && (*setNum.begin() <= cur)) {
				llHas += *setNum.begin();
				setNum.erase(setNum.begin());
			}
			if (cur & target) {
				iNeed += cur;
			}
			while (llHas < iNeed) {
				auto it = setNum.lower_bound(cur);
				if (setNum.end() == it) { return -1; }
				int next = *it;
				setNum.erase(it);				
				while (cur != next) {
					next /= 2;
					setNum.emplace(next);
					iRet++;
				}
				llHas += cur;
			}	
		}
		return iRet;
	}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{

	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	vector<int> nums; int target;

	{
		Solution sln;
		nums = { 1, 2, 8 }, target = 7;
		auto res = sln.minOperations(nums, target);
		Assert(1, res);
	}

	{
		Solution sln;
		nums = { 1, 32, 1, 2 }, target = 12;
		auto res = sln.minOperations(nums, target);
		Assert(2, res);
	}

	{
		Solution sln;
		nums = { 1,32,1 }, target = 35;
		auto res = sln.minOperations(nums, target);
		Assert(-1, res);
	}
	
}

扩展阅读

视频课程

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