KL散度的非负性证明

news2024/11/19 23:19:20

KL散度主要是用于衡量两个分布之间的差异。KL散度的公式如下:

KL(p||q)=\sum_{x}^{}p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}

其中,p,q分别是两个分布,且有:

\sum_{i=1}^{n}p(i)=1

\sum_{i=1}^{n}q(i)=1 

 证明KL散度的非负性,即证明:

KL(p||q)=\sum_{x}^{}p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}\geq 0

即证明: 

\sum_{x}^{}p(x)log\frac{p(x)}{q(x)}=\sum_{x}^{}p(x)(logp(x)-logq(x))\geq 0 

即证明:  

 \sum_{x}^{}p(x)logp(x)\geq \sum_{x}^{}p(x)logq(x)

由吉布斯不等式可知:

即可证明上述KL的非负性。 

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