问题描述

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格式输入

无

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格式输出

输出方案数

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评测用例规模与约定

无

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解析

题目的意思是21个教学楼对于编号互质的两个楼就有一个通道，可以想成一个图有双向边当编号互质时，（互质的知识看这篇博文互质的知识）否则没有直接到达的通道。要求从1楼出发再回到1楼并且每个楼都走过，求有多少种走的方案（其实也就类似旅行商问题求方案数一个哈密顿回路），首先求方案数并且是不同道路的我们想到dfs，但这道题dfs不适用21个点，情况会由21！个所以放弃，还有什么更好的方法呢。。。状态压缩dp，这是一个解决这个问题的好方法如果你学过的话。。。如果没有看看这篇博文学习一下（状压dp）
用二进制来表示状态01每个楼是否被访问过，然后推出状态转移方程，这个过程要用到神奇的二进制位运算。。。
所以呢dp[][]来记录状态和到达的楼。前一个[]是状态在代码中也会用左移右移来表示状态想象成二进制就好，后一个[]就是到达的楼号了。通过i>>j&1这个操作来判断状态是否成立。最后把所有最终到达的楼号状态数目加起来就是方案数了。

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参考程序

#include<iostream>
using namespace std;
#define N 21
int to[N+1][N+1];//记录楼和楼之间状态通不通
int visit[N+1];
long long dp[1<<N][N+1];
long long ans=0;
int gcd(int x,int y){
   return y?gcd(y,x%y):x;
}
void dfs(int step,int np){//跑不出来的dfs
   if(step==N){
       if(np==1) ans++;
       return;
   }
   else{
       for(int i=1;i<=N;i++){
           if( np==i || visit[i]==1 || to[np][i]==0 ) continue;
           visit[i]=1;
           dfs(step+1,i);
           visit[i]=0;
       }
   }
}
int main(){
   for(int i=1;i<=N-1;i++){
       for(int j=i+1;j<=N;j++){
           if(gcd(i,j)==1){
               to[i-1][j-1]=1;
               to[j-1][i-1]=1;
           }
       }
   }
   dp[1][0]=1; 
   for(int i=1;i<(1<<N);i++){
       for(int j=0;j<N;j++){
           if((i>>j)&1==0) continue;
           for(int k=0;k<N;k++){
               if((i>>k&1) || !to[j][k]) continue;
               dp[i+(1<<k)][k] += dp[i][j];
           }
       }
   }
   for(int i=1;i<=21;i++) ans+=dp[(1<<21)-1][i]; 
   cout<<ans;
    return 0;
}

难度等级

⭐️⭐️⭐️⭐️手动再加半颗，还是比较难的。。。（1~10星）

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