多项式拟合：最小二乘、拉格朗日插值、牛顿插值

多项式拟合是一种常用的数学和机器学习方法，它使用一个多项式函数来拟合一组数据点。多项式拟合的目的是在众多的样本点中找出满足样本点分布的多项式。它基于多项式函数的性质，可以表示为 y=w0+w1x+w2x2+…+wnxn 的形式，其中 y 是因变量（输出）， x 是自变量（输入）， w0,w1,…,wn 是多项式的系数。

多项式拟合的应用非常广泛，包括但不限于以下方面：

数据分析与预测：在数据分析中，多项式拟合可以帮助理解和预测变量之间的关系。例如，在经济学中，可以使用多项式拟合来预测股票价格或销售额的变化趋势。
信号处理：在信号处理领域，多项式拟合可用于去除噪声或平滑信号。通过拟合信号的主要趋势，可以减少随机噪声的影响。
图像处理：在图像处理中，多项式拟合可用于边缘检测、图像增强等任务。通过拟合图像的像素值分布，可以提取出图像的特征或进行图像修复。
机器学习算法：多项式拟合也是许多机器学习算法的基础，如多项式回归、支持向量机等。这些算法利用多项式拟合来捕捉数据中的非线性关系。

此外，多项式拟合还可以根据具体需求和应用场景进行定制和优化。例如，可以通过调整多项式的阶数来控制拟合的复杂度，或者使用不同的优化算法来确定最佳的拟合系数。

需要注意的是，多项式拟合并不总是稳定的，特别是在数据缺失或噪声较大的情况下。此外，过高的多项式阶数可能导致过拟合，使得模型在训练数据上表现良好，但在新数据上表现不佳。因此，在使用多项式拟合时，需要仔细选择模型参数并评估其性能。

总之，多项式拟合是一种强大而灵活的工具，可以在多个领域用于数据处理、分析和预测。然而，它的使用也需要谨慎，以避免潜在的稳定性问题和过拟合风险。

本文介绍三种MATLAB多项式拟合的方法，并给出演示代码。

1. 最小二乘多项式拟合

最小二乘多项式拟合是一种数学优化技术，用于寻找一个多项式函数，使得该函数与给定的数据点之间的平方误差之和最小。具体来说，假设有一组数据点 $eq?%28x_i%2Cy_i%29$ ，其中 $eq?i%3D1%2C2%2C...%2Cn$ ，我们希望找到一个多项式函数 $eq?p%28x%29%20%3D%20w_0%20+%20w_1x%20+%20w_2x%5E2%20+%20...%20+%20w_mx%5Em$ ，使得所有数据点与该多项式的垂直距离（即误差）的平方和最小。

最小二乘法的目标是最小化如下形式的损失函数（或称为残差平方和）：

$eq?S%20%3D%20%5Csum%20%5B%28y_i%20-%20p%28x_i%29%29%5E2%5D$

其中 $eq?%5Csum$ 表示对所有的 $eq?i$ 从 1 到 $eq?n$ 求和。损失函数 $eq?S$ 衡量了多项式拟合函数 $eq?p%28x%29$ 与实际数据点之间的总体偏差。最小二乘法通过调整多项式的系数 $eq?w0%2Cw1%2C...%2Cwm$ 来最小化 $eq?S$ 。

为了找到使 $eq?S$ 最小的系数，通常会使用线性代数中的矩阵方法（如正规方程）或迭代优化算法（如梯度下降）。一旦找到了这些系数，就得到了一个多项式函数，该函数以最小平方误差的方式拟合了给定的数据点。

最小二乘多项式拟合具有许多优点，例如计算效率高、易于实现、以及在许多情况下能够提供很好的拟合效果。然而，它也有一些局限性，例如对于某些复杂的数据分布，可能无法找到一个合适的多项式来准确拟合。此外，如果多项式的阶数选择不当，可能会导致过拟合或欠拟合的问题。

在实际应用中，最小二乘多项式拟合被广泛用于回归分析、信号处理、图像处理、物理建模等多个领域。通过拟合数据中的趋势和模式，它可以帮助我们理解和预测变量的行为，并为决策提供有力的支持。

演示代码如下：

clc;clear;close all;
%% 最小二乘多项式拟合
% 定义一些样本数据
x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];
y = [2, 3, -5, 3, 5, 11, -2, 3, 7, -7];

% 指定拟合多项式的次数
n = 9;

% 使用 polyfit 函数进行最小二乘拟合
p = polyfit(x, y, n);

% 生成拟合曲线的 x 值
x_fit = linspace(min(x), max(x), 100);
% 计算拟合曲线的 y 值
y_fit = polyval(p, x_fit);

% 绘制原始数据
figure;
plot(x, y, '.blue', 'MarkerSize', 25); % 原始数据点
hold on;

% 绘制拟合曲线
plot(x_fit, y_fit, 'r-', 'LineWidth', 2); % 拟合曲线
hold off;

% 添加图例和标签
legend('原始数据', '拟合曲线','Fontsize',11);
xlabel('数据序号','Fontsize',12);
ylabel('数据大小','Fontsize',12);
title('最小二乘多项式拟合','Fontsize',12);
grid on;

最小二乘多项式拟合

2. 拉格朗日插值多项式拟合

拉格朗日插值多项式拟合是一种通过已知的数据点来构造一个多项式函数，从而在未知数据点处进行预测或者估计的方法。具体地，给定一组互不相同的数据点，其中是互不相同的实数，拉格朗日插值多项式可以表示为，其中是拉格朗日基函数。

拉格朗日基函数的定义为，其中。这意味着基函数在处取值为1，而在其他插值点处取值为0。这样，当等于某个特定的插值点时，只有对应的基函数对有贡献，其他基函数均为零。因此，拉格朗日插值多项式能够确保在已知的数据点处，多项式与给定的函数值完全匹配。

拉格朗日插值多项式拟合的求解过程需要先求出基函数，然后再将其带入到多项式中求解。这种方法具有结构简单、运算简便的优点，因此在许多领域得到了广泛的应用。

然而，需要注意的是，拉格朗日插值多项式拟合也存在一些局限性。例如，当插值节点的数量增加时，多项式的次数也会相应增加，这可能导致龙格现象（Runge's phenomenon），即在区间的某些部分，插值多项式的值可能会远离实际函数值，产生较大的误差。因此，在选择使用拉格朗日插值多项式拟合时，需要综合考虑数据的性质、插值节点的数量和分布等因素。

演示代码如下：

clc;clear;close all;
%% 拉格朗日插值多项式拟合
% 定义要拟合的原始数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];
y = [2, 3, -5, 3, 5, 11, -2, 3, 7, -7];

% 定义要插值的点
x_interp = 1:0.01:10;

% 使用拉格朗日插值法拟合多项式
n = length(x);
p = zeros(size(x_interp));
for i = 1:n
    L = ones(size(x_interp));
    for j = 1:n
        if j ~= i
            L = L .* (x_interp - x(j)) / (x(i) - x(j));
        end
    end
    p = p + y(i) * L;
end

% 绘制原始数据点和插值结果
figure;
plot(x, y, '*', x_interp, p, '-', 'LineWidth', 2); % 拟合曲线

% 添加图例和标签
legend('原始数据', '拟合曲线','Fontsize',11);
xlabel('数据序号','Fontsize',12);
ylabel('数据大小','Fontsize',12);
title('拉格朗日插值多项式拟合','Fontsize',12);
grid on;

拉格朗日插值多项式拟合

3.牛顿插值多项式拟合

牛顿插值多项式拟合是一种数学方法，用于通过已知的数据点来构造一个多项式函数，以便在未知的数据点处进行预测或估计。这种方法的核心在于使用差商的概念和牛顿插值公式来生成多项式。

首先，差商是一系列与函数值及其导数有关的量，通过计算这些差商，可以构建出牛顿插值多项式。牛顿插值多项式的优点在于，每增加一个新的数据点（或称为节点），插值多项式只需要增加一项，这使得递推运算变得相对容易。

具体地，牛顿插值多项式拟合的过程大致如下：首先，根据已知的数据点计算出各阶差商。然后，利用这些差商和牛顿插值公式，可以构建出一个多项式，该多项式通过所有的已知数据点。最后，使用这个多项式来估计未知数据点的值。

需要注意的是，虽然牛顿插值多项式拟合在许多情况下都能提供较好的结果，但它也有一些局限性。例如，当数据点的分布不均匀或者存在较大的噪声时，牛顿插值多项式可能无法给出准确的预测。此外，如果多项式的阶数选择不当，也可能导致过拟合或欠拟合的问题。

因此，在使用牛顿插值多项式拟合时，需要综合考虑数据的性质、插值节点的数量和分布等因素，以确保得到准确且可靠的结果。同时，也可以结合其他方法（如曲线拟合、多项式拟合等）来进行比较和验证，以提高预测的准确性。

演示代码如下：

clc;clear;close all;
%% 牛顿插值法拟合多项式
% 定义要拟合的原始数据点
x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];
y = [2, 3, -5, 3, 5, 11, -2, 3, 7, -7];

% 定义要插值的点
x_interp = 1:0.01:10;

% 使用牛顿插值法拟合多项式
n = length(x);
F = zeros(n, n); %用于存储差商
F(:,1) = y';
for j = 2:n
    for i = j:n
        F(i,j) = (F(i,j-1) - F(i-1,j-1)) / (x(i) - x(i-j+1));
    end
end

% 计算插值多项式在给定点上的值
p = zeros(size(x_interp));
for k = 1:length(x_interp)
    P = F(1,1);
    for j = 2:n
        term = F(j,j);
        for i = 1:j-1
            term = term * (x_interp(k) - x(i));
        end
        P = P + term;
    end
    p(k) = P;
end

% 绘制原始数据点和插值结果
plot(x, y, '*', x_interp, p, '-', 'LineWidth', 2); % 拟合曲线
legend('原始数据', '拟合曲线','Fontsize',11);
xlabel('数据序号','Fontsize',12);
ylabel('数据大小','Fontsize',12);
title('牛顿插值多项式拟合','Fontsize',12);
grid on;