考研数据结构——栈和队列（最全！）

一、栈

1.1栈的定义和基本概念

要讨论一种数据结构，就要从三方面讨论：逻辑结构、数据的运算、存储结构（物理结构）。

1.1.1 定义

线性表：线性表是具有相同数据类型的n个数据元素的有限序列，其中n为表长，当n=0时为空表。

栈（stack）：栈是 只允许在一端进行插入或删除操作 的线性表，即只能从栈尾插入删除。

重要术语：栈顶、栈底、空栈。LIFO：last in first out，即后进先出。

所以栈的逻辑结构和普通线性表没有差别，数据操作上插入和删除操作有区别。

1.1.2 基本操作

先回顾一下线性表的基本操作：

栈的基本操作：

1.1.3 常考题型

若进栈顺序为“a-b-c-d-e”，则出栈顺序有哪些？

由于进栈顺序有可能和出栈操作交叉进行，所以出栈顺序有多种。若有n个不同元素进栈，出栈顺序的不同排列个数为：

即“卡特兰数”。

所以考试时几乎不太可能让写出所有的出栈顺序，一般会出选择题，还是比较简单的。

1.2 栈的顺序存储实现

顺序栈就相当于顺序链表，用静态数组方式实现，是顺序存储。所有顺序栈的基本操作（创增删查）的时间复杂度都是O(1)。

缺点：大小不可变。

1.2.1 初始化顺序栈

#include<iostream>
using namespace std;
#define MaxSize 10
//定义顺序栈
typedef struct {
	int data[MaxSize];		//静态数组存放栈中元素
	int top;				//栈顶指针
}SqStack;

//初始化栈
void InitStack(SqStack& S) {
	S.top = -1;				//初始化栈顶指针
}

//判断栈空
bool StackEmpty(SqStack S) {
	if (S.top == -1)
		return true;		//栈空
	else
		return false;		//栈不空
}

void test(){
    SqStack S;
    //操作
}

代码解析：

top是栈顶指针，指向栈顶元素，若栈中有四个元素，则top=4，即栈顶元素的下标。
刚开始将S.top置为-1，因为初始化的顺序栈里面没有数据，data[0]没有数据，没有“栈顶元素”。
在声明一个栈的时候分配内存使用的是变量声明的方式，没有使用malloc函数，在代码执行结束后系统会自动回收这块内存空间。

顺序存储：给各个数据元素分配连续的存储空间，大小为：MaxSize*sizeof(int)。

创建好之后在内存中是这个样子：

1.2.2 进栈操作

//新元素入栈
bool Push(SqStack& S, int x) {
	if (S.top == MaxSize - 1)
		return false;
	S.top = S.top + 1;
	S.data[S.top] = x;
	return true;
}

注意：S.top 充当数组下标，是一个 int 型。

1.2.3 出栈操作

//出栈操作
bool Pop(SqStack& S, int& x) {
	if (S.top == -1)
		return false;
	x = S.data[S.top];		//x存储栈顶元素，即要出栈的元素
	S.top = S.top - 1;		//指针-1
	return true;
}

代码解析：

先判断栈是否为空，若为空直接返回false；
让 x 保存需要出栈的元素，即栈顶元素，并带回到函数调用者那里；
令栈的指针 -1，只是在逻辑上删除了该元素，但是它的数据还残存在内存中。

1.2.4 读取栈顶元素

//读取栈顶元素
bool GetTop(SqStack S, int& x) {
	if (S.top == -1)
		return false;
	x = S.data[S.top];		//x存储栈顶元素，即要出栈的元素
	return true;
}

代码解析：读取栈顶元素的代码和出栈操作的代码几乎一模一样，只是不需要将栈顶指针 -1，只要把被删元素 x 带回即可。

1.2.5 共享栈

顺序栈的缺点：大小不可变。

为了解决这个缺点，可以采用共享栈的方式。即两个栈共享同一片存储空间。

共享栈的优点：节省存储空间,降低发生上溢的可能。

上溢和下溢，对栈而言：栈满还存为上溢，栈空再取即下溢。上溢和下溢都修改了栈之外的内存，因此有可能导致程序崩溃。

//共享栈
typedef struct {
	int data[MaxSize];		//静态数组存放栈中元素
	int top0;				//0号栈栈顶指针
	int top1;				//1号栈栈顶指针
}ShStack;
//初始化栈
void InitStack(ShStack& S) {
	S.top0 = -1;			//初始化栈顶指针
	S.top1 = MaxSize;
}

刚开始的指针情况如图：

代码解析：

top0 从下往上存，top1 从上往下存，在逻辑上实现了两个栈的存取，可以提高内存空间的资源利用率。
判断栈满的条件为：top0+1==top1

1.3 链栈

链栈和单链表几乎一模一样，对应的基本操作（创增删查）也几乎相同，只是进栈/出栈只能在栈顶一端进行（链头作为栈顶）。链栈也分为带头结点和不带头结点，下面我 主要用不带头结点的方式 实现一遍链栈的操作。

1.3.1 链栈的定义

//链栈定义
typedef struct LinkNode {
	int data;
	struct LinkNode* next;
}*LiStack;

1.3.2 链栈的初始化（创）

//栈的初始化
void InitStack(LiStack& S) {
	S = NULL;		//设置栈顶指针为空
}

若带头结点则改为“S.next = NULL”。

1.3.3 链栈的入栈（增）

//链栈的插入
bool Push(LiStack& list, int x) {
	SNode* s = (SNode*)malloc(sizeof(LiStack));
    // 内存分配失败的情况
    if(s == NULL) {
        return false;
    }
	s->data = x;
	s->next = list;
	list = s;
}

先申请一个指针 s ，让 s 的 data 域保存要入栈的元素 x ，然后将 s 的 next 链到 list ，即将 s 插入到 list 前面，最后移动 list 的位置让其始终指向栈顶元素。

1.3.4 链栈的出栈（删）

//链栈的出栈
bool Pop(LiStack& list, int& x) {
	if (list == NULL)
		return false;
	//出栈结点是栈顶指针指向的结点
	x = list->data;							//将出栈节点的值赋给x
	SNode* p = (SNode*)malloc(sizeof(LiStack));		//临时结点，用于之后释放空间
	list = list->next;						//使头指针指向下一结点
	free(p);
	return true;
}

要注意在使用 free 函数释放内存空间的时候，前面创建内存空间的时候一定要用 malloc 函数创建(这是c语言的方法)；如果使用c++的方法，就是前面用 new 创建，后面用 delete 删除。

1.3.5 链栈的查找（获取栈顶元素）

//获取栈顶元素
bool GetPop(LiStack& list, int& e) {
	if (list == NULL)	//判空
		return false;
	e = list->data;		//用e保存当前要出栈的元素值
	return true;
}

1.3.6 其他基本操作

//1.输出栈的元素
void PrintS(LiStack list) {
	SNode* s = (SNode*)malloc(sizeof(LiStack));
	s = list;
	while (s != NULL) {
		cout << s->data << " ";
		s = s->next;
	}
	cout << "成功输出！" << endl;
}
//2.判空操作
bool Empty(LinkStack S) {
    // 栈为空的条件即栈顶指针指向NULL
    if(S == NULL)
        return true;
    return false;
}

二、队列

2.1 队列的定义和基本概念

2.1.1 定义

队列是一种操作受限的线性表，即只允许在一端进行插入（入队），在另一端进行删除（出队）的线性表。

队列是先进先出（FIFO：first in first out）

2.1.2 基本操作

2.2 队列的顺序存储实现

2.2.1 初始化顺序队列

//定义一个顺序队列
typedef struct {
	int data[MaxSize];		//静态数组存放队列元素
	int front, rear;		//队头指针和队尾指针
}SqQueue;
//初始化队列
void InitQueue(SqQueue& Q) {
	//初始时，队头队尾指针指向0
	Q.rear = Q.front = 0;
}
//判空
bool Empty(SqQueue Q) {
	if (Q.front == Q.rear)
		return true;
	return false;
}

队头指针指向队头，队尾指针指向队尾的后一个位置，即下一个要插入元素的位置。初始化时让队头队尾指针同时指向0，就代表一个空队列。

2.2.2 入队操作（循环队列）

//入队（错误示范）
bool EnQueue(SqQueue& Q, int x) {
	if (队列已满)
		return false;
	Q.data[Q.rear] = x;
	Q.rear = Q.rear + 1;
	return true;
}

由于队列是顺序存储结构，内存固定不变，所以要先判断队列是否已满，如果没满就进行入队操作，最后将队尾指针向后移一位。这是“错误示范”的思路。

至于错到了哪儿，我们要先想一下如何判断队列已满？是判断 Q.rear = MaxSize 吗？好像不太对，如果正常情况下队列已满之后，有一些元素从队头出队了，那这时候 Q.rear = MaxSize 仍然成立，但是队列并不是满的，再次有元素入队的话可以放到前面去。这是不是有点循环的味道了，这就对了。基于此，我们改进代码为 Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize; 这样的话，每次队列满的时候，Q.rear 都会重新指向 data[0] 的位置：比如一个顺序队列最大容量为 10 ，某时刻 Q.rear指向队尾，即Q.rear=9，此时如果有新的元素入队，根据改进后的代码，得 Q.rear=(9+1)%10 ，即 Q.rear=0。

那么我们还剩一个问题：判断队列已满的条件是什么？有同学可能要说“那当然是 Q.rear == Q.front” 啊，队头指针和队尾指针指向同一个位置的话就说明队列已满。但是你想一想我们的“判空”操作的判断条件是什么，在“判空”操作中，我们说当 Q.front==Q.rear 时就认为队列为空，那如果按照前面说的这种判定方法，是不是就有歧义了？所以我们的判定条件要改为 (Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front ，即如果队尾指针的下一个位置指向队头，就说明队列已满（如下图），所以我们 必须牺牲一个存储单元来实现判断队列已满 的操作。

于是，我们得到了正确的入队操作的代码：

//入队
bool EnQueue(SqQueue& Q, int x) {
	if ((Q.rear + 1) % MaxSize == Q.front)	//判断队列已满
		return false;		
	Q.data[Q.rear] = x;						//新元素插入队尾
	Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize;		//队尾指针+1取余
	return true;
}

2.2.3 出队操作（删除）

//出队
bool DeQueue(SqQueue& Q, int& x) {
	if (Q.rear == Q.front)		//判断队空
		return false;
	x = Q.data[Q.front];		//x保存出队元素
	Q.front = (Q.front + 1) % MaxSize;	//队头指针后移
	return true;
}

每出队一个元素，队头指针就向后移一位，同样用取模运算，让队头指针可以循环移动。

2.2.4 获取队头元素的值

//获得队头元素的值
bool GetHead(SqQueue& Q, int& x) {
	if (Q.rear == Q.front)		//判断队空
		return false;
	x = Q.data[Q.front];		//x保存出队元素
	return true;
}

2.2.5 计算队列元素个数

(rear+MaxSize-front)%MaxSize

2.3 判断队空/队满

2.3.1 指针判别法

在 2.2.2入队操作 一节已经详细讲过了，会浪费一个存储空间。如果自己写代码的话这种方法就够用了，但是考试过程中出题老师可能会要求你不让浪费掉这部分空间，于是有了后两种方法。

2.3.2 添加size计数器

//定义一个顺序队列
typedef struct {
	int data[MaxSize];		//静态数组存放队列元素
	int front, rear;		//队头指针和队尾指针
    int size;
}SqQueue;

在初始化队列的时候，添加一个 size 用来记录队列中元素个数，插入成功 size++ ，出队成功 size-- ，当 size==MaxSize 时，队列已满，当 size==0 时，队列已空。初始化 size 为 0 。

2.3.3 添加入队/出队标志 tag

//定义一个顺序队列
typedef struct {
	int data[MaxSize];		//静态数组存放队列元素
	int front, rear;		//队头指针和队尾指针
    int tag;				//标志最近进行的是入队还是出队操作
}SqQueue;

在定义一个队列的时候，添加一个tag标志，当执行入队操作时，令tag=1；执行出队操作时，令tag=0。我们知道，只有入队才会让队列已满，只有出队才会让队列已空，所以：

队满条件：rear == front && tag == 1;

队空条件：rear == front && tag == 0;

2.4 其他出题方法

考试时可能会让队尾指针 rear 指向队尾元素，而不是队尾元素的下一位置，这样的话对应的判空、判满、入队、出队等操作的实现方式都要做一定的小小的改变。

2.5 链队列

2.5.1 链队列的声明

//声明一个结点
typedef struct LinkNode {	//链式队列结点
	int data;
	struct LinkNode* next;
}LinkNode;
//声明一个队列
typedef struct {
	LinkNode* front, * rear;	//队列的队头和队尾
}LinkQueue;

带头结点和不带头结点两种实现方式的头指针 front 的指向是不一样的。

2.5.2 链队列的初始化

//初始化(带头结点)
void InitQueue(LinkQueue& Q) {
	//初始时，front、rear都指向头结点
	Q.front = Q.rear = (LinkNode*)malloc(sizeof(LinkNode));	//申请内存空间
	Q.front->next = NULL;			//头结点的指针域置为空
}
//初始化（不带头结点）
void InitQueue(LinkQueue& Q) {
	Q.front = NULL;
	Q.rear = NULL;
}

2.5.3 链队列的入队

//入队(带头结点)
void EnQueue(LinkQueue& Q, int x) {
	LinkNode* s = (LinkNode*)malloc(sizeof(LinkNode));	//申请一个节点s
	s->data = x;
	s->next = NULL;
	Q.rear->next = s;		//新结点插入到rear之后
	Q.rear = s;				//尾指针指向s
}
//入队(不带头结点)
void EnQueue(LinkQueue& Q, int x) {
	LinkNode* s = (LinkNode*)malloc(sizeof(LinkNode));	//申请一个节点s
	s->data = x;
	s->next = NULL;
	if (Q.front == NULL) {			//当队列为空时，插入第一个元素
		Q.front = s;			//修改队头指针
		Q.rear = s;
	}
	else {
		Q.rear->next = s;		//新结点插入到rear之后
		Q.rear = s;				//尾指针指向s
	}
}

代码不难，结合 2.5.1 链队列的声明 理解。注意插入的元素为第一个元素的情况。

2.5.4 链栈的出队

//出队(带头结点)
bool DeQueue(LinkQueue& Q, int& x) {
	if (Q.front == Q.rear)		//判空操作
		return false;
	LinkNode* p = (LinkNode*)malloc(sizeof(LinkNode));
	p = Q.front->next;		//p指向要删除的元素
	x = p->data;			//x保存要删除的元素的值
	Q.front->next = p->next;	
	if (Q.rear == p)		//如果要删除的是最后一个元素，要做特殊处理，即将队列置为空
		Q.rear = Q.front;
	free(p);
	return true;
}
//出队(不带头结点)
bool DeQueue(LinkQueue& Q, int& x) {
	if (Q.front == NULL)		//判空操作
		return false;
	LinkNode* p = (LinkNode*)malloc(sizeof(LinkNode));
	p = Q.front;		//p指向要删除的元素
	x = p->data;			//x保存要删除的元素的值
	Q.front = p->next;		//移动front指针的位置到下一结点
	if (Q.rear == p) {		//如果要删除的是最后一个元素，要做特殊处理，即将队列置为空
		Q.rear = NULL;
		Q.front = NULL;
	}
	free(p);
	return true;
}

整体思路是用一个指针p指向被删节点，用x保存p的值，然后删除p结点即可。注意当删除元素为最后一个元素时，要做特殊处理，即把队列置为空。

2.6 双端队列

双端队列是只允许从两端插入、两端删除的线性表。在此基础上也会延伸出“输入受限的双端队列、输出受限的双端队列”等概念，即只允许从一端插入、两端删除或两端插入、一端删除的操作。

考点：

和栈相似，会让我们判断一个输入序列的输出序列是否合法，以及有多少种输出序列等。题目比较简单。

注意：在栈中合法的输出序列，在双端队列中必定合法。

三、栈的应用

3.1 括号匹配（重要）

3.1.1 为什么用栈？

比如“(((())))”一共8个括号，包含4个左括号和4个右括号。在匹配时最先出现的右括号匹配最后出现的左括号，即当出现一个右括号时，消除最后出现的左括号。这就和进栈出栈类似，也是后进先出。

3.1.2 算法思路

最下面的蓝色框是结束框。

3.1.3 代码

//括号判断
bool bracketCheck(char str[], int length) {
	SqStack S;		//初始化一个栈
	InitStack(S);
	for (int i = 0; i < length; i++) {
		if (str[i] == '(' || str[i] == '[' || str[i] = '{') {
			Push(S, str[i]);		//扫描到左括号，入栈
		}
		else {
			if (StackEmpty(S))		//扫描到右括号且当前栈空
				return false;		//匹配失败
			char topElem;			//用来保存出栈的元素，即右括号
			Pop(S, topElem);		//栈顶元素出栈
			//判断括号是否匹配，若不匹配，返回false
			if (str[i] == '(' && topElem != ')')
				return false;
			if (str[i] == '[' && topElem != ']')
				return false;
			if (str[i] == '{' && topElem != '}')
				return false;
		}
	}
	return StackEmpty(S);		//检索完毕后若栈空，则匹配成功
}

考试中可以直接使用基本操作，不过要用注释说明。本题采用顺序栈存储的实现方式，在实际应用过程中可能会出现栈满的情况，故可用链栈实现。但考试时用顺序栈就行，相对简单。

代码思路：依次遍历所有元素，遇到左括号就入栈，遇到右括号就出栈；匹配失败的情况是左括号、右括号单独出现或左右括号不匹配。

3.2 表达式求值

表达式共分为三种：中缀表达式，前缀表达式，后缀表达式。表达式分为三部分：操作数、运算符、界限符，比较通俗易懂，不做解释。

其中，中缀表达式就是我们最熟悉的那种表达式，比如“((15÷(7-(1+1)))×3)-(2+(1+1))”，就是一个中缀表达式。考试时最长考的是后缀表达式，因为其应用面较广。

3.2.1 背景

就是有个人，叫波兰，有一天突发奇想发明出一种不用界限符（即括号）也能无歧义地表达运算顺序的方法，就是现在的前缀表达式（又叫波兰表达式）和后缀表达式（又叫逆波兰表达式）。

3.2.2 三种表达式的对比和转化

3.2.2.1 对比

	概念	例子1	例子2	例子3
中缀表达式（最熟悉）	运算符在两个操作数中间	a+b	a+b-c	a+b-c*d
后缀表达式（最常考）	运算符在两个操作数后面	ab+	ab+c-	ab+cd*
前缀表达式	运算符在两个操作数前面	+ab	-+abc	-+ab*cd

3.2.2.2 中缀转后缀(手算)

中缀转后缀的方式：先确定运算顺序，然后根据运算顺序依次按照“左操作数右操作数运算符”的顺序组合成一个新的操作数。

注意：在实际操作过程中，我们会发现，一个中缀表达式的运算顺序可能并不是唯一的，比如 a+b-c 可以先算加法也可以先算减法，这就势必会导致转换出来的后缀表达式不唯一，理论上来说多种结果都正确，但由于算法三大特性之唯一性，我们规定“左优先”原则，即 只要左边的运算符能先计算，就优先算左边的 。这样可以保证结果唯一。

比如下图两种计算方法，同样的式子，计算顺序不一样，转换出来的后缀表达式也不一样，即使两种结果都应该正确，但考试过程中以及计算机计算过程中都采用左边的那个，即采用左优先原则。

同时，也要掌握后缀转中缀的计算方法。

3.2.2.3 后缀表达式计算(机算)

后缀表达式的计算顺序和运算符的顺序相同。也就是让运算符前面最近的两个操作数进行运算。特点：最后出现的操作数先运算，也就是后进先出。这就和栈不谋而合。

用栈实现后缀表达式的计算：

从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
若扫描到操作数则压入栈，并回到①；否则执行③；
若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压入栈顶，回到①。（注意，先弹出的是右操作数，后弹出的是左操作数）

3.2.2.4 中缀转前缀(手算)

计算方法：

确定中缀表达式中各个运算符的运算顺序；
选择下一个运算符，按照【运算符左操作数右操作数】的方式组合成新的操作数；
如果还有运算符未处理，就继续第二步。

右优先原则：只要右边的运算符能先计算，就优先计算右边的。

3.2.2.5 前缀表达式计算(机算)

其实和后缀表达式的计算方法相似，只是要从右往左扫描了，并且弹出的顺序也有所不同，先弹出左操作数，后弹出右操作数。

从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素；
若扫描到操作数则压入栈，并回到①；否则执行③；
若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压入栈顶，回到①。（注意，先弹出的是左操作数，后弹出的是右操作数）

3.2.2.6 中缀转后缀(机算)

算法目的：给计算机一个中缀表达式，输出一个后缀表达式。

考点：考察进行到某一步时，栈内的情况是怎么样的，选择题。

学习目标：能用笔算的方式模拟整个过程，不需要会写代码。

过程：

初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况：
1. 遇到操作数。直接加入后缀表达式；
2. 遇到界限符。遇到 “(” 直接入栈，遇到 “)” 则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“)”为止。注意：“(”不加入后缀表达式；
3. 遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(”或栈空则停止，之后再把当前运算符入栈。
最后将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。

下图为手推过程，黑笔是栈，红笔是当前扫描的位置，蓝笔是当前后缀表达式。需要注意的是第⑧步中，“-”没有直接出栈是因为暂时不能确定它的运算顺序，比如D后面如果跟个“*”就要先计算后面的，所以要把“-”压入栈。每一步都根据上面说的步骤一一对应找一下理解理解就好了。

3.2.2.7 中缀表达式计算(机算)

就是后缀表达式计算和中缀转后缀的两种算法的结合。

过程：

初始化两个栈，一个操作数栈，用于保存不能确定运算次序的操作数；一个运算符栈，用于保存不能确定运算次序的运算符。
若扫描到操作数，压入操作数栈；
若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑压入运算符栈（期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈）

中缀转后缀的逻辑：

初始化一个栈，用于保存暂时还不能确定运算顺序的运算符。从左到右处理各个元素，直到末尾。可能遇到三种情况：
1. 遇到操作数。直接加入后缀表达式；
2. 遇到界限符。遇到 “(” 直接入栈，遇到 “)” 则依次弹出栈内运算符并加入后缀表达式，直到弹出“)”为止。注意：“(”不加入后缀表达式；
3. 遇到运算符。依次弹出栈中优先级高于或等于当前运算符的所有运算符，并加入后缀表达式，若碰到“(”或栈空则停止，之后再把当前运算符入栈。
最后将栈中剩余运算符依次弹出，并加入后缀表达式。

3.3 递归

函数调用时需要用一个“函数调用栈”存储：调用返回地址、实参、局部变量。

递归调用时，函数调用栈可称为“递归工作栈”。每进入一层递归，就将递归调用所需信息压入栈顶；每退出一层递归，就从栈顶弹出相应信息。

缺点：

太多层递归可能会导致栈溢出。
通常情况下，针对同一问题的递归算法求解比非递归算法求解的效率更低，因为递归算法包含很多重复运算，效率会降低。

四、数组和特殊矩阵

数组的存储结构分为：一维数组和二维数组。之前只是泛泛了解一下，现在需要了解他们背后的实现细节。

特殊矩阵分为：对称矩阵、三角矩阵、三对角矩阵、系数矩阵。主要是用一些简单的策略节省存储空间。

4.1 数组

4.1.1 一维数组

int a[10];

在 c 语言中我们使用如上代码定义一个 int 类型的数组，各元素大小相同，且物理上连续存放。每一个元素所占的内存空间大小是一样的，都是4个字节（int型）。所以只要知道了一个数组的起始地址 LOC ，就可以计算出每一个元素 a[i] 的存放地址：LOC+i*sizeof(int) 。除非题目特别说明，否则默认数组下标从 0 开始。

4.1.2 二维数组

int a[2][4];

使用如上代码定义一个二维数组。二维数组在逻辑上是两行，但是在内存中是线性存储的，如图：

计算机会采用行优先存储或列优先存储来存储二维数组，本质上是为了把二维数组拉成线性结构，因为计算机内存是线性的。

而线性存储二维数组所带来的好处就是可以实现随机存取。即如果知道二维数组的起始地址，那么只要给出某元素的行号和列号，就可以计算出该元素在内存中的存放位置。

在M行N列的二维数组b[M] [N] 中，若按行优先，则bpi[j]的存储地址 = LOC+(i* N+j)*sizeof(int)。列优先类似。

4.2 矩阵

普通矩阵可以采用二维数组的方式存储。注意：描述矩阵元素时，行列号通常从 1 开始；而描述数组时通常下标从0开始。这里不探讨普通矩阵，主要看看一些特殊矩阵是如何压缩存储的。

4.2.1 对称矩阵

定义：若在 n 阶方阵中任意一个元素 ai,j 都有 ai,j=aj,i，则该矩阵为对称矩阵。

普通存储：n*n二维数组；

压缩存储：只存储主对角线+下（上）三角区。

4.2.1.1 按行优先存储

要思考两个问题：

1.数组大小应该是多少？

我们要存储下三角区，第一行 1 个元素，第二行 2 个元素，第三行 3 个元素......那么一共有 n 行，即一共有 （1+2+3+...+n）=(1+n)*n/2 个元素，即一维数组的长度应为(1+n)*n/2 。

2.如何将矩阵的行号和列号映射为对应数组的下标？

按行优先的原则，ai,j 是第 [1+2+3+...+(i-1)]+j = i*(i-1)/2+j-1 个元素，注意数组下标若从 0 开始，下标要减一。那如果要访问上三角区（即j>i）的元素怎么办呢？由于是对称矩阵，所以 ai,j=aj,i，当访问上三角区的元素时，可以访问第 “ j*(j-1)/2+i-1 ”个元素（即i和j互换）。

上述结论不用记，因为考试肯定不会考原题，需要会现推。考试可能会给你一维数组存储上三角区，或者按列优先原则存储，让求 ai,j 的下标，关键在于求出 ai,j 是第几个元素。

4.2.2 三角矩阵

定义：除了主对角线和下三角区，其他元素都相同。

压缩存储：按行优先原则将橙色区域元素存入一维数组中。并在最有一个位置存储常量c。

4.2.2.1 下三角矩阵

两个问题：

1.数组大小？

n*(n+1)/2+1 。多出来的1是用来存放常量c的。

2.如何访问 ai,j ？

k表示是第几个元素。

4.2.2.2 上三角矩阵

数组大小和下三角矩阵一样。

访问上三角区时，ai,j 元素的位置：n+(n-1)+...+(n-i+2)+j-i 。即ai,j 是第 (i-1)*(2 *n-i+2)/2+j-i 个元素。

4.2.3 三对角矩阵

定义：三对角矩阵又称为带状矩阵，当 |i-j|>1 时，有ai,j=0 (1≤i,j≤n)。

压缩存储：按行优先（或列优先）原则，只存储带状部分。

两个问题：

1.数组大小？

除第一行和最后一行是两个元素外，其余均为3个元素，故数组大小为 3n-2。

2.如何访问ai,j？

按行优先原则，计算 ai,j 是第几个元素。

前 i-1 行共有 3*(i-1)-1 个元素，ai,j 是第 i 行第 j-i+2 个元素，所以 ai,j 是第 2i+j-2 个元素。

Q:若已知数组下标k，如何得到i，j？

A:数组下标为 k ，即第 k+1 个元素。
前 i-1 行共 3(i-1)-1 个元素，显然，3(i-1)-1 < k+1 ≤ 3i-1 【即k+1处在两行之间】
解得 i ≥ (k+2)/3 ，向上取整即可求得 i 值
由 k=2i+j-3 得 j=k-2i+3

4.2.4 稀疏矩阵

定义：非零元素远远少于矩阵元素的个数。

特点：稀疏矩阵的特点是矩阵中非零元的元素较少，切记不是“矩阵中的元素较少”！极容易看错！

压缩存储：

1.顺序存储——三元组<行，列，值>。

上图稀疏矩阵的三元组如下：

可以定义一个struct，有i，j，v三个属性，一个struct对应三元组中的一行，然后再定义一个struct的一维数组就可以顺序存储这些三元组。

这种方式存储的话，如果要访问一个三元组，就需要顺序依次访问，就失去了随机存取的特性。

考点：若采用三元组表存储结构存储稀疏矩阵M，则除了三元组表外，还需要保存M的行数和列数。
原因：每个非零元素都是由三元组组成，但是仅通过三元组表中的元素无法判断稀疏矩阵 M 的大小，因此还要保存 M 的行数和列数。此外，还可以保存 M 的非零元素个数。

2.链式存储——十字链表法

每个结点由三个数据域和两个指针组成，三个数据分别是存储元素的行号、列号、值，两个指针分别指向同一列的下一个元素、同一行的下一个元素。

4.3 考点

1.矩阵的压缩存储需要多长的数组？

2.由矩阵行列号 <i,j> 推出对应的数组下标号 k。

3.由 k 推出 <i,j> 。

4.易错点：

存储上三角还是下三角；
行优先还是列优先；
矩阵元素从0开始还是从1开始；
数组下标从0开始还是从1开始。

五、习题精选

本章节代码题不多，主要是栈的基本操作那一部分，并且一般不用写出基本操作的函数实现，只要会用就行（包括入栈、出栈、判空、栈满、入队、出队等操作）。以下这些都是王道25考研数据结构书的课后习题里面我的错题，以及一些比较有代表意义的题目，不多，但应该会很有帮助

1.设链表不带头结点且所有操作均在表头进行，则下列最不适合作为链栈的是：（C）

A.只有表头结点指针，没有表尾指针的双向循环链表

B.只有表尾结点指针，没有表头指针的双向循环链表

C.只有表头结点指针，没有表尾指针的单向循环链表

D.只有表尾结点指针，没有表头指针的单向循环链表

解析：对于双向循环链表，不管是表头指针还是表尾指针，都可以很方便地找到表头结点，方便在表头做插入或删除操作。而单循环链表通过尾指针可以很方便的找到表头结点，但通过头指针找尾节点需要遍历一次链表，故选C。

2.一个栈的入栈序列为1,2,3,...,n，出站序列是P1,P2,...Pn。若P2=3，则P3可能取值的个数为：（n-1）

解析：P3可以取除了3之外的所有数。自己推演一遍就会了。

3.与顺序队列相比，链式队列（D）

A.优点是队列的长度不受限制

B.优点是进队和出队时间效率更高

C.缺点是不能进行顺序访问

D.缺点是不能根据队首指针和队尾指针计算队列长度

解析：A选项，链式队列的长度虽然不固定，但仍不能无限扩容，因此仍然受限制。B选项，顺序队列和链式队列进出队的时间复杂度都是O(1)。C选项，顺序队列和链式队列都可以顺序访问。D选项，对于顺序队列，可以通过队头指针和队尾指针计算队列中的元素个数，而链式队列则不能。

4.用链式存储方式的队列进行删除操作时需要                                                   （D）
A.仅修改头指针                   B.仅修改尾指针
C.头尾指针都要修改                   D.头尾指针可能都要修改

解析：仅针对AD选项，队列中只有一个元素时需要修改头尾指针，要使队列为空，其余情况仅修改头指针即可。

5.若将n阶下三角矩阵A按列优先顺序压缩存放在一维数组B[1...n(n+1)/2+1]中，则存放到B[k]中的非零元素ai,j（1≤i,j≤n）的下标i、j与k的对应关系是：

（ (j-1)(2n-j+2)/2+i-j+1 ）

解析：题干关键信息：下三角，n阶，列优先。

那么元素 ai,j 之前共有 j-1 列，即有 n+(n-1)+(n-2)+...+(n-j+2)=(j-1)(2n-j+2)/2 个元素，元素 ai,j 是第 j 列上第 i-j+1 个元素，数组 B 的下标从 1 开始，k=(j-1)(2n-j+2)/2+i-j+1。

6.有一个n×n的对称矩阵A，将其下三角部分按行存放在一维数组B中，而 A[0] [0]存放于B[0]中，则元素 A[i] [i]存放于B中的哪个下标处？（ (i+3)*i/2 ）

解析：先计算 A[i] [i]是第几个元素，再计算它的下标。

由题意可知，由于对称矩阵A的元素是从第 0 行 0 列开始存储，所以A[i] [i] 是第 i+1 行第 i+1 列的那个元素。并且是下三角部分按行存储，第一行1个元素，第二行2个元素，...，第 i 行 i 个元素，因此前 i 行有 (1+2+...+i)=(i+1)*i/2 个元素，然后再加上第 i+1 行的 i+1 个元素，则 A[i] [i] 是第 (i+1) *i/2+i+1 个元素。

由于数组B的下标从0开始，故 A[i] [i] 的存放位置的下标要减一。即元素A[i] [i] 存放的下标为 (i+1) *i/2+i =(i+3) *i/2

其他的还有很多给出元素下标让计算数组下标的题目，平时刷题过程中多注意练习就好，不算难。