高等数学（第七版）同济大学 习题11-7
函数作图软件：Mathematica
1. 试对曲面 Σ ： z = x 2 + y 2 ， x 2 + y 2 ≤ 1 ， P = y 2 ， Q = x ， R = z 2 验证斯托克斯公式 . \begin{aligned}&1. \ 试对曲面\Sigma：z=x^2+y^2，x^2+y^2 \le 1，P=y^2，Q=x，R=z^2验证斯托克斯公式.&\end{aligned} 1. 试对曲面Σ：z=x2+y2，x2+y2≤1，P=y2，Q=x，R=z2验证斯托克斯公式.
解：
按右手法则， Σ 取上侧， Σ 的边界 Γ 为圆周 x 2 + y 2 = 1 ， z = 1 ，从 z 轴正向看去，取逆时针方向， ∬ Σ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y 2 x z 2 ∣ = ∬ Σ ( 1 − 2 y ) d x d y = ∬ D x y ( 1 − 2 y ) d x d y ，转换为极坐标形式， 上式 = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ( 1 − 2 ρ s i n θ ) ρ d ρ = ∫ 0 2 π [ ρ 2 2 − 2 3 ρ 3 s i n θ ] 0 1 d θ = ∫ 0 2 π ( 1 2 − 2 3 s i n θ ) d θ = π ， Γ 的参数方程取 x = c o s t ， y = s i n t ， z = 1 ， t 从 0 变到 2 π ，因此 ∮ Γ P d x + Q d y + R d z = ∫ 0 2 π ( − s i n 3 t + c o s 2 t ) d t = π . \begin{aligned} &\ \ 按右手法则，\Sigma取上侧，\Sigma的边界\Gamma为圆周x^2+y^2=1，z=1，从z轴正向看去，取逆时针方向，\\\\ &\ \ \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}dydz &dzdx &dxdy\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\y^2 & x &z^2\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}(1-2y)dxdy=\iint_{D_{xy}}(1-2y)dxdy，转换为极坐标形式，\\\\ &\ \ 上式=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}(1-2\rho sin\ \theta)\rho d\rho=\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{\rho^2}{2}-\frac{2}{3}\rho^3sin\ \theta\right]_{0}^{1}d\theta=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}sin\ \theta\right)d\theta=\pi，\\\\ &\ \ \Gamma的参数方程取x=cos\ t，y=sin\ t，z=1，t从0变到2\pi，因此\\\\ &\ \ \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{0}^{2\pi}(-sin^3\ t+cos^2\ t)dt=\pi. & \end{aligned} 按右手法则，Σ取上侧，Σ的边界Γ为圆周x2+y2=1，z=1，从z轴正向看去，取逆时针方向， ∬Σ dydz∂x∂y2dzdx∂y∂xdxdy∂z∂z2 =∬Σ(1−2y)dxdy=∬Dxy(1−2y)dxdy，转换为极坐标形式， 上式=∫02πdθ∫01(1−2ρsin θ)ρdρ=∫02π[2ρ2−32ρ3sin θ]01dθ=∫02π(21−32sin θ)dθ=π， Γ的参数方程取x=cos t，y=sin t，z=1，t从0变到2π，因此 ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∫02π(−sin3 t+cos2 t)dt=π.
2. 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： \begin{aligned}&2. \ 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：&\end{aligned} 2. 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：
( 1 ) ∮ Γ y d x + z d y + x d z ，其中 Γ 为圆周 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ， x + y + z = 0 ，若从 x 轴的正向看去，这圆周是 取逆时针方向； ( 2 ) ∮ Γ ( y − z ) d x + ( z − x ) d y + ( x − y ) d z ，其中 Γ 为椭圆 x 2 + y 2 = a 2 ， x a + z b = 1 ( a > 0 ， b > 0 ) ，若从 x 轴 正向看去，这椭圆是取逆时针方向； ( 3 ) ∮ Γ 3 y d x − x z d y + y z 2 d z ，其中 Γ 是圆周 x 2 + y 2 = 2 z ， z = 2 ，若从 z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； ( 4 ) ∮ Γ 2 y d x + 3 x d y − z 2 d z ，其中 Γ 是圆周 x 2 + y 2 + z 2 = 9 ， z = 0 ，若从 z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \oint_{\Gamma}ydx+zdy+xdz，其中\Gamma为圆周x^2+y^2+z^2=a^2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 取逆时针方向；\\\\ &\ \ (2)\ \ \oint_{\Gamma}(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz，其中\Gamma为椭圆x^2+y^2=a^2，\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1\ (a \gt 0，b \gt 0)，若从x轴\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 正向看去，这椭圆是取逆时针方向；\\\\ &\ \ (3)\ \ \oint_{\Gamma}3ydx-xzdy+yz^2dz，其中\Gamma是圆周x^2+y^2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；\\\\ &\ \ (4)\ \ \oint_{\Gamma}2ydx+3xdy-z^2dz，其中\Gamma是圆周x^2+y^2+z^2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向. & \end{aligned} (1) ∮Γydx+zdy+xdz，其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是 取逆时针方向； (2) ∮Γ(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz，其中Γ为椭圆x2+y2=a2，ax+bz=1 (a>0，b>0)，若从x轴 正向看去，这椭圆是取逆时针方向； (3) ∮Γ3ydx−xzdy+yz2dz，其中Γ是圆周x2+y2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4) ∮Γ2ydx+3xdy−z2dz，其中Γ是圆周x2+y2+z2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向.
解：
(
1
)
取
Σ
为平面
x
+
y
+
z
=
0
的上侧被
Γ
所围成的部分，则
Σ
的面积为
π
a
2
，
Σ
的单位法向量为
n
=
(
c
o
s
α
,
c
o
s
β
,
c
o
s
γ
)
=
(
1
3
,
1
3
,
1
3
)
，根据斯托克斯公式，
∮
Γ
y
d
x
+
z
d
y
+
x
d
z
=
∬
Σ
∣
1
3
1
3
1
3
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
y
z
x
∣
d
S
=
∬
Σ
(
−
1
3
−
1
3
−
1
3
)
d
S
=
−
3
3
∬
Σ
d
S
=
−
3
π
a
2
.
\begin{aligned} &\ \ (1)\ 取\Sigma为平面x+y+z=0的上侧被\Gamma所围成的部分，则\Sigma的面积为\pi a^2，\Sigma的单位法向量为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ n=(cos\ \alpha, \ cos\ \beta, \ cos\ \gamma)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \frac{1}{\sqrt{3}}, \ \frac{1}{\sqrt{3}}\right)，根据斯托克斯公式，\oint_{\Gamma}ydx+zdy+xdz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\y &z &x\end{array}\right|dS=\iint_{\Sigma}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)dS=-\frac{3}{\sqrt{3}}\iint_{\Sigma}dS=-\sqrt{3}\pi a^2.\\\\ & \end{aligned}
(1) 取Σ为平面x+y+z=0的上侧被Γ所围成的部分，则Σ的面积为πa2，Σ的单位法向量为 n=(cos α, cos β, cos γ)=(31, 31, 31)，根据斯托克斯公式，∮Γydx+zdy+xdz= ∬Σ
31∂x∂y31∂y∂z31∂z∂x
dS=∬Σ(−31−31−31)dS=−33∬ΣdS=−3πa2.
(
2
)
取
Σ
为平面
x
a
+
z
b
=
1
的上侧被
Γ
所围成的部分，
Σ
的单位法向量
n
=
(
c
o
s
α
,
c
o
s
β
,
c
o
s
γ
)
=
(
b
a
2
+
b
2
,
0
,
a
a
2
+
b
2
)
，根据斯托克斯公式，
∮
Γ
(
y
−
z
)
d
x
+
(
z
−
x
)
d
y
+
(
x
−
y
)
d
z
=
∬
Σ
∣
b
a
2
+
b
2
0
a
a
2
+
b
2
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
y
−
z
z
−
x
x
−
y
∣
d
S
=
−
2
(
a
+
b
)
a
2
+
b
2
∬
Σ
d
S
，因为
∬
Σ
d
S
=
Σ
的面积
A
，而
A
⋅
c
o
s
γ
=
A
⋅
a
a
2
+
b
2
=
Σ
在
x
O
y
面上的投影区域的面积
=
π
a
2
，所以
∬
Σ
d
S
=
π
a
2
a
a
2
+
b
2
=
π
a
a
2
+
b
2
，
则原式
=
−
2
(
a
+
b
)
a
2
+
b
2
⋅
π
a
a
2
+
b
2
=
−
2
π
a
(
a
+
b
)
.
\begin{aligned} &\ \ (2)\ 取\Sigma为平面\frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1的上侧被\Gamma所围成的部分，\Sigma的单位法向量n=(cos\ \alpha, \ cos\ \beta, \ cos\ \gamma)=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ 0, \ \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)，根据斯托克斯公式，\oint_{\Gamma}(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} &0 &\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\y-z &z-x &x-y\end{array}\right|dS=\frac{-2(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\iint_{\Sigma}dS，因为\iint_{\Sigma}dS=\Sigma的面积A，而A\cdot cos\ \gamma=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ A\cdot \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\Sigma在xOy面上的投影区域的面积=\pi a^2，所以\iint_{\Sigma}dS=\frac{\pi a^2}{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=\pi a\sqrt{a^2+b^2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 则原式=\frac{-2(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \pi a\sqrt{a^2+b^2}=-2\pi a(a+b).\\\\ & \end{aligned}
(2) 取Σ为平面ax+bz=1的上侧被Γ所围成的部分，Σ的单位法向量n=(cos α, cos β, cos γ)= (a2+b2b, 0, a2+b2a)，根据斯托克斯公式，∮Γ(y−z)dx+(z−x)dy+(x−y)dz= ∬Σ
a2+b2b∂x∂y−z0∂y∂z−xa2+b2a∂z∂x−y
dS=a2+b2−2(a+b)∬ΣdS，因为∬ΣdS=Σ的面积A，而A⋅cos γ= A⋅a2+b2a=Σ在xOy面上的投影区域的面积=πa2，所以∬ΣdS=a2+b2aπa2=πaa2+b2， 则原式=a2+b2−2(a+b)⋅πaa2+b2=−2πa(a+b).
(
3
)
取
Σ
为平面
z
=
2
的上侧被
Γ
所围成的部分，则
Σ
的单位法向量为
n
=
(
0
,
0
,
1
)
，
Σ
在
x
O
y
面上的投影区域
D
x
y
为
x
2
+
y
2
≤
4
，根据斯托克斯公式，
∮
Γ
3
y
d
x
−
x
z
d
y
+
y
z
2
d
z
=
∬
Σ
∣
0
0
1
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
3
y
−
x
z
y
z
2
∣
d
S
=
−
∬
Σ
(
z
+
3
)
d
S
=
−
∬
D
x
y
(
2
+
3
)
d
x
d
y
=
−
5
⋅
π
⋅
2
2
=
−
20
π
.
(
4
)
Γ
为
x
O
y
面上的圆周
x
2
+
y
2
=
9
，取
Σ
为圆域
x
2
+
y
2
≤
9
的上侧，根据斯托克斯公式，
∮
Γ
2
y
d
x
+
3
x
d
y
−
z
2
d
z
=
∬
Σ
∣
d
y
d
z
d
z
d
x
d
x
d
y
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
2
y
3
x
−
z
2
∣
=
∬
Σ
d
x
d
y
=
∬
D
x
y
d
x
d
y
=
9
π
.
\begin{aligned} &\ \ (3)\ 取\Sigma为平面z=2的上侧被\Gamma所围成的部分，则\Sigma的单位法向量为n=(0, \ 0, \ 1)，\Sigma在xOy面上的投影区域\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ D_{xy}为x^2+y^2 \le 4，根据斯托克斯公式，\oint_{\Gamma}3ydx-xzdy+yz^2dz=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}0 &0 &1\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\3y &-xz &yz^2\end{array}\right|dS=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ -\iint_{\Sigma}(z+3)dS=-\iint_{D_{xy}}(2+3)dxdy=-5 \cdot \pi \cdot 2^2=-20\pi.\\\\ &\ \ (4)\ \Gamma为xOy面上的圆周x^2+y^2=9，取\Sigma为圆域x^2+y^2 \le 9的上侧，根据斯托克斯公式，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}2ydx+3xdy-z^2dz=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{cccc}dydz &dzdx &dxdy\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\2y &3x &-z^2\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}dxdy=\iint_{D_{xy}}dxdy=9\pi. & \end{aligned}
(3) 取Σ为平面z=2的上侧被Γ所围成的部分，则Σ的单位法向量为n=(0, 0, 1)，Σ在xOy面上的投影区域 Dxy为x2+y2≤4，根据斯托克斯公式，∮Γ3ydx−xzdy+yz2dz=∬Σ
0∂x∂3y0∂y∂−xz1∂z∂yz2
dS= −∬Σ(z+3)dS=−∬Dxy(2+3)dxdy=−5⋅π⋅22=−20π. (4) Γ为xOy面上的圆周x2+y2=9，取Σ为圆域x2+y2≤9的上侧，根据斯托克斯公式， ∮Γ2ydx+3xdy−z2dz=∬Σ
dydz∂x∂2ydzdx∂y∂3xdxdy∂z∂−z2
=∬Σdxdy=∬Dxydxdy=9π.
3. 求下列向量场 A 的旋度： \begin{aligned}&3. \ 求下列向量场A的旋度：&\end{aligned} 3. 求下列向量场A的旋度：
( 1 ) A = ( 2 z − 3 y ) i + ( 3 x − z ) j + ( y − 2 x ) k ； ( 2 ) A = ( z + s i n y ) i − ( z − x c o s y ) j ； ( 3 ) A = x 2 s i n y i + y 2 s i n ( x z ) j + x y s i n ( c o s z ) k . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=(2z-3y)i+(3x-z)j+(y-2x)k；\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(z+sin\ y)i-(z-xcos\ y)j；\\\\ &\ \ (3)\ \ A=x^2sin\ yi+y^2sin(xz)j+xysin(cos\ z)k. & \end{aligned} (1) A=(2z−3y)i+(3x−z)j+(y−2x)k； (2) A=(z+sin y)i−(z−xcos y)j； (3) A=x2sin yi+y2sin(xz)j+xysin(cos z)k.
解：
( 1 ) r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 z − 3 y 3 x − z y − 2 x ∣ = 2 i + 4 j + 6 k . ( 2 ) r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z + s i n y − ( z − x c o s y ) 0 ∣ = i + j + ( c o s y − c o s y ) k = i + j . ( 3 ) r o t A = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 s i n y y 2 s i n ( x z ) x y s i n ( c o s z ) ∣ = [ x s i n ( c o s z ) − x y 2 c o s ( x z ) ] i − y s i n ( c o s z ) j + [ y 2 z c o s ( x z ) − x 2 c o s y ] k . \begin{aligned} &\ \ (1)\ rot A=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\2z-3y &3x-z &y-2x\end{array}\right|=2i+4j+6k.\\\\ &\ \ (2)\ rot A=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\z+sin\ y &-(z-xcos\ y) &0\end{array}\right|=i+j+(cos\ y-cos\ y)k=i+j.\\\\ &\ \ (3)\ rot A=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\x^2sin\ y &y^2sin(xz) &xysin(cos\ z)\end{array}\right|=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ [xsin(cos\ z)-xy^2cos(xz)]i-ysin(cos\ z)j+[y^2zcos(xz)-x^2cos\ y]k. & \end{aligned} (1) rotA= i∂x∂2z−3yj∂y∂3x−zk∂z∂y−2x =2i+4j+6k. (2) rotA= i∂x∂z+sin yj∂y∂−(z−xcos y)k∂z∂0 =i+j+(cos y−cos y)k=i+j. (3) rotA= i∂x∂x2sin yj∂y∂y2sin(xz)k∂z∂xysin(cos z) = [xsin(cos z)−xy2cos(xz)]i−ysin(cos z)j+[y2zcos(xz)−x2cos y]k.
4. 利用斯托克斯公式把曲面积分 ∬ Σ r o t A ⋅ n d S 化为曲线积分，并计算积分值，其中 A ， Σ 及 n 分别如下： \begin{aligned}&4. \ 利用斯托克斯公式把曲面积分\iint_{\Sigma}rot A\cdot ndS化为曲线积分，并计算积分值，其中A，\Sigma及n分别如下：&\end{aligned} 4. 利用斯托克斯公式把曲面积分∬ΣrotA⋅ndS化为曲线积分，并计算积分值，其中A，Σ及n分别如下：
( 1 ) A = y 2 i + x y j + x z k ， Σ 为上半球面 z = 1 − x 2 − y 2 的上侧， n 是 Σ 的单位法向量； ( 2 ) A = ( y − z ) + y z j − x z k ， Σ 为立方体 { ( x , y , z ) ∣ 0 ≤ x ≤ 2 ， 0 ≤ y ≤ 2 ， 0 ≤ z ≤ 2 } 的表面外侧去掉 x O y 面上 的那个底面， n 是 Σ 的单位法向量 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=y^2i+xyj+xzk，\Sigma为上半球面z=\sqrt{1-x^2-y^2}的上侧，n是\Sigma的单位法向量；\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(y-z)+yzj-xzk，\Sigma为立方体\{(x, \ y, \ z)\ |\ 0 \le x \le 2，0 \le y \le 2，0 \le z \le 2\}的表面外侧去掉xOy面上\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 的那个底面，n是\Sigma的单位法向量. & \end{aligned} (1) A=y2i+xyj+xzk，Σ为上半球面z=1−x2−y2的上侧，n是Σ的单位法向量； (2) A=(y−z)+yzj−xzk，Σ为立方体{(x, y, z) ∣ 0≤x≤2，0≤y≤2，0≤z≤2}的表面外侧去掉xOy面上 的那个底面，n是Σ的单位法向量.
解：
( 1 ) Σ 的正向边界曲线 Γ 为 x O y 面上的圆周 x 2 + y 2 = 1 ，从 z 轴正向看去 Γ 取逆时针向， Γ 的参数方程为 x = c o s t ， y = s i n t ， z = 0 ， t 从 0 变到 2 π ，根据斯托克斯公式， ∬ Σ r o t A ⋅ n d S = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z = ∮ Γ y 2 d x + x y d y + x z d z = ∫ 0 2 π [ s i n 2 t ⋅ ( − s i n t ) + c o s t ⋅ s i n t ⋅ c o s t ] d t = ∫ 0 2 π ( 1 − 2 c o s 2 t ) d ( c o s t ) = 0. ( 2 ) Σ 的边界曲线 Γ 为 x O y 面上由直线 x = 0 ， y = 0 ， x = 2 ， y = 2 所围成的正方形的边界，从 z 轴正向看去取 逆时针向，根据斯托克斯公式， ∬ Σ r o t A ⋅ n d S = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z = ∮ Γ ( y − z ) d x + y z z d y − x z d z = ∮ Γ y d x = ∫ 2 0 2 d x = − 4. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \Sigma的正向边界曲线\Gamma为xOy面上的圆周x^2+y^2=1，从z轴正向看去\Gamma取逆时针向，\Gamma的参数方程为\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ x=cos\ t，y=sin\ t，z=0，t从0变到2\pi，根据斯托克斯公式，\iint_{\Sigma}rot A\cdot ndS=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}y^2dx+xydy+xzdz=\int_{0}^{2\pi}[sin^2\ t\cdot (-sin\ t)+cos\ t\cdot sin\ t\cdot cos\ t]dt=\int_{0}^{2\pi}(1-2cos^2\ t)d(cos\ t)=0.\\\\ &\ \ (2)\ \Sigma的边界曲线\Gamma为xOy面上由直线x=0，y=0，x=2，y=2所围成的正方形的边界，从z轴正向看去取\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 逆时针向，根据斯托克斯公式，\iint_{\Sigma}rot A\cdot ndS=\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\oint_{\Gamma}(y-z)dx+yzzdy-xzdz=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}ydx=\int_{2}^{0}2dx=-4. & \end{aligned} (1) Σ的正向边界曲线Γ为xOy面上的圆周x2+y2=1，从z轴正向看去Γ取逆时针向，Γ的参数方程为 x=cos t，y=sin t，z=0，t从0变到2π，根据斯托克斯公式，∬ΣrotA⋅ndS=∮ΓPdx+Qdy+Rdz= ∮Γy2dx+xydy+xzdz=∫02π[sin2 t⋅(−sin t)+cos t⋅sin t⋅cos t]dt=∫02π(1−2cos2 t)d(cos t)=0. (2) Σ的边界曲线Γ为xOy面上由直线x=0，y=0，x=2，y=2所围成的正方形的边界，从z轴正向看去取 逆时针向，根据斯托克斯公式，∬ΣrotA⋅ndS=∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(y−z)dx+yzzdy−xzdz= ∮Γydx=∫202dx=−4.
5. 求下列向量场 A 沿闭曲线 Γ （从 z 轴正向看 Γ 依逆时针方向）的环流量： \begin{aligned}&5. \ 求下列向量场A沿闭曲线\Gamma（从z轴正向看\Gamma依逆时针方向）的环流量：&\end{aligned} 5. 求下列向量场A沿闭曲线Γ（从z轴正向看Γ依逆时针方向）的环流量：
( 1 ) A = − y i + x j + c k （ c 为常量）， Γ 为圆周 x 2 + y 2 = 1 ， z = 0 ； ( 2 ) A = ( x − z ) i + ( x 3 + y z ) j − 3 x y 2 k ，其中 Γ 为圆周 z = 2 − x 2 + y 2 ， z = 0. \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ A=-yi+xj+ck（c为常量），\Gamma为圆周x^2+y^2=1，z=0；\\\\ &\ \ (2)\ \ A=(x-z)i+(x^3+yz)j-3xy^2k，其中\Gamma为圆周z=2-\sqrt{x^2+y^2}，z=0. & \end{aligned} (1) A=−yi+xj+ck（c为常量），Γ为圆周x2+y2=1，z=0； (2) A=(x−z)i+(x3+yz)j−3xy2k，其中Γ为圆周z=2−x2+y2，z=0.
解：
( 1 ) Γ 的参数方程为 x = c o s t ， y = s i n t ， z = 0 ， t 从 0 变到 2 π ，则 ∮ Γ A ⋅ τ d s = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z = ∮ Γ ( − y ) d x + x d y + c d z = ∫ 0 2 π [ ( − s i n t ) ( − s i n t ) + c o s t c o s t ] d t = ∫ 0 2 π d t = 2 π . ( 2 ) Γ 是 x O y 面上的圆周 x 2 + y 2 = 4 ，参数方程为 x = 2 c o s t ， y = 2 s i n t ， z = 0 ， t 从 0 变到 2 π ，则 ∮ Γ A ⋅ τ d s = ∮ Γ P d x + Q d y + R d z = ∮ Γ ( x − z ) d x + ( x 3 + y z ) d y − 3 x y 2 d z = ∮ Γ x d x + x 3 d y = ∫ 0 2 π [ 2 c o s t ⋅ ( − 2 s i n t ) + 8 c o s 3 t ⋅ 2 c o s t ] d t = − 4 ∫ 0 2 π s i n t c o s t d t + 16 ∫ 0 2 π c o s 4 t d t = 0 + 64 ∫ 0 π 2 c o s 4 t d t = 64 ⋅ 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 = 12 π . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \Gamma的参数方程为x=cos\ t，y=sin\ t，z=0，t从0变到2\pi，则\oint_{\Gamma}A\cdot \tau ds=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\oint_{\Gamma}(-y)dx+xdy+cdz=\int_{0}^{2\pi}[(-sin\ t)(-sin\ t)+cos\ tcos\ t]dt=\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi.\\\\ &\ \ (2)\ \Gamma是xOy面上的圆周x^2+y^2=4，参数方程为x=2cos\ t，y=2sin\ t，z=0，t从0变到2\pi，则\oint_{\Gamma}A\cdot \tau ds=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \oint_{\Gamma}Pdx+Qdy+Rdz=\oint_{\Gamma}(x-z)dx+(x^3+yz)dy-3xy^2dz=\oint_{\Gamma}xdx+x^3dy=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{2\pi}[2cos\ t \cdot (-2sin\ t)+8cos^3\ t\cdot 2cos\ t]dt=-4\int_{0}^{2\pi}sin\ tcos\ tdt+16\int_{0}^{2\pi}cos^4\ tdt=\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 0+64\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^4\ tdt=64\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}=12\pi. & \end{aligned} (1) Γ的参数方程为x=cos t，y=sin t，z=0，t从0变到2π，则∮ΓA⋅τds= ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(−y)dx+xdy+cdz=∫02π[(−sin t)(−sin t)+cos tcos t]dt=∫02πdt=2π. (2) Γ是xOy面上的圆周x2+y2=4，参数方程为x=2cos t，y=2sin t，z=0，t从0变到2π，则∮ΓA⋅τds= ∮ΓPdx+Qdy+Rdz=∮Γ(x−z)dx+(x3+yz)dy−3xy2dz=∮Γxdx+x3dy= ∫02π[2cos t⋅(−2sin t)+8cos3 t⋅2cos t]dt=−4∫02πsin tcos tdt+16∫02πcos4 tdt= 0+64∫02πcos4 tdt=64⋅43⋅21⋅2π=12π.
6. 证明 r o t ( a + b ) = r o t a + r o t b . \begin{aligned}&6. \ 证明\ rot(a+b)=rot\ a+rot\ b.&\end{aligned} 6. 证明 rot(a+b)=rot a+rot b.
解：
设 a = a x i + a y j + a z k ， b = b x i + b y j + b z k ，其中 a x ， a y ， a z ， b x ， b y ， b z 均为 x ， y ， z 的函数，则 r o t ( a + b ) = r o t ( ( a x + b x ) i + ( a y + b y ) j + ( a z + b z ) k ) = [ ∂ ( a z + b z ) ∂ y − ∂ ( a y + b y ) ∂ z ] i + [ ∂ ( a x + b x ) ∂ z − ∂ ( a z + b b ) ∂ x ] j + [ ∂ ( a y + b y ) ∂ x − ∂ ( a x + b x ) ∂ y ] k = [ ( ∂ a z ∂ y − ∂ a y ∂ z ) i + ( ∂ a x ∂ z − ∂ a z ∂ x ) j + ( ∂ a y ∂ x − ∂ a x ∂ y ) k ] + [ ( ∂ b z ∂ y − ∂ b y ∂ z ) i + ( ∂ b x ∂ z − ∂ b z ∂ x ) j + ( ∂ b y ∂ x − ∂ b x ∂ y ) k ] = r o t a + r o t b . \begin{aligned} &\ \ 设a=a_xi+a_yj+a_zk，b=b_xi+b_yj+b_zk，其中a_x，a_y，a_z，b_x，b_y，b_z均为x，y，z的函数，则\\\\ &\ \ rot(a+b)=rot((a_x+b_x)i+(a_y+b_y)j+(a_z+b_z)k)=\\\\ &\ \ \left[\frac{\partial(a_z+b_z)}{\partial y}-\frac{\partial(a_y+b_y)}{\partial z}\right]i+\left[\frac{\partial(a_x+b_x)}{\partial z}-\frac{\partial(a_z+b_b)}{\partial x}\right]j+\left[\frac{\partial(a_y+b_y)}{\partial x}-\frac{\partial(a_x+b_x)}{\partial y}\right]k=\\\\ &\ \ \left[\left(\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial a_x}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y}\right)k\right]+\left[\left(\frac{\partial b_z}{\partial y}-\frac{\partial b_y}{\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial b_x}{\partial z}-\frac{\partial b_z}{\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial b_y}{\partial x}-\frac{\partial b_x}{\partial y}\right)k\right]=\\\\ &\ \ rot\ a+rot\ b. & \end{aligned} 设a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk，其中ax，ay，az，bx，by，bz均为x，y，z的函数，则 rot(a+b)=rot((ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k)= [∂y∂(az+bz)−∂z∂(ay+by)]i+[∂z∂(ax+bx)−∂x∂(az+bb)]j+[∂x∂(ay+by)−∂y∂(ax+bx)]k= [(∂y∂az−∂z∂ay)i+(∂z∂ax−∂x∂az)j+(∂x∂ay−∂y∂ax)k]+[(∂y∂bz−∂z∂by)i+(∂z∂bx−∂x∂bz)j+(∂x∂by−∂y∂bx)k]= rot a+rot b.
7. 设 u = u ( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数，求 r o t ( g r a d u ) . \begin{aligned}&7. \ 设u=u(x, \ y, \ z)具有二阶连续偏导数，求rot(grad\ u).&\end{aligned} 7. 设u=u(x, y, z)具有二阶连续偏导数，求rot(grad u).
解：
g r a d u = ∂ u ∂ x i + ∂ u ∂ y j + ∂ u ∂ z k ， r o t ( g r a d u ) = ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∣ = ( ∂ 2 u ∂ z ∂ y − ∂ 2 u ∂ y ∂ z ) i + ( ∂ 2 u ∂ x ∂ z − ∂ 2 u ∂ z ∂ x ) j + ( ∂ 2 u ∂ y ∂ x − ∂ 2 u ∂ x ∂ y ) k = 0 i + 0 j + 0 k = 0. \begin{aligned} &\ \ grad\ u=\frac{\partial u}{\partial x}i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k，rot(grad\ u)=\left|\begin{array}{cccc}i &j &k\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z}\\\frac{\partial u}{\partial x} &\frac{\partial u}{\partial y} &\frac{\partial u}{\partial z}\end{array}\right|=\\\\ &\ \ \left(\frac{\partial^2\ u}{\partial z\partial y}-\frac{\partial^2\ u}{\partial y\partial z}\right)i+\left(\frac{\partial^2\ u}{\partial x\partial z}-\frac{\partial^2\ u}{\partial z\partial x}\right)j+\left(\frac{\partial^2\ u}{\partial y\partial x}-\frac{\partial^2\ u}{\partial x\partial y}\right)k=0i+0j+0k=0. & \end{aligned} grad u=∂x∂ui+∂y∂uj+∂z∂uk，rot(grad u)= i∂x∂∂x∂uj∂y∂∂y∂uk∂z∂∂z∂u = (∂z∂y∂2 u−∂y∂z∂2 u)i+(∂x∂z∂2 u−∂z∂x∂2 u)j+(∂y∂x∂2 u−∂x∂y∂2 u)k=0i+0j+0k=0.
