三、 数据结构：
时间复杂度：
- 背复杂度对应的代码。
- Tips：时间复杂度估算看最内层循环，如若没有循环和递归则为O（1）。
空间复杂度：
- 需要单独空间存储数据时使用。
- 考点：非递归的空间复杂度。
- Tips：声明一个变量和有限个数的变量都是O(1)。
递归式：
时间/空间复杂度：
- 递归算法的时间/空间复杂度 = 递归的次数 × 每次递归的时间/空间复杂度
- 上述适用于每次递归时间复杂度不变的情况。
- 如果每次递归的时间复杂度随着n变化而变化，则要根据代码来观察。
主方法求递归式：（似懂非懂）
指数计算公式：
线性表：
- 考点：如果没有给出最好最坏平均时间复杂度的话，默认是平均时间复杂度。
顺序表：
- 插入、删除操作最好时间复杂度为O(1)，平均和最坏时间复杂度都为O(n)。
- 查找最好、最坏、平均情况都为O(1)。
单链表：
- 查找、插入、删除操作最好时间复杂度为O(1)，平均和最坏时间复杂度都为O(n)。
顺序存储：
- 通过元素在存储空间中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系。
队列：
- 优先队列通常采用 堆 数据结构实现，向优先队列中插入一个元素的时间复杂度为O( lgn)。
数组：
一维数组：
- LOC：数组首地址、L：元素大小。
- 下标从0开始：a_i = LOC + i × L
- 下标从1开始：a_i = LOC + ( i - 1) × L
- Tips：理解记忆。
二维数组：a[i][j] -> i表示行，j表示列
- LOC：数组首地址、N：行数、M：列数、L：元素大小
- 按行优先存储并且下标从0开始：a_(i,j) = LOC + (i × M + j) × L
- 按行优先存储并且下标从1开始：a_(i,j) = LOC + [(i - 1) × M + (j-1)] × L
- 按列优先存储并且下标从0开始：a_(i,j) = LOC + (j × N + i) × L
- 按列优先存储并且下标从1开始：a_(i,j) = LOC + [(j - 1) × N + (i - 1)] × L
- Tips：理解记忆。
矩阵：
对称矩阵：
概念：
- 有一个n×n的矩阵，若矩阵中的任意一个元素都有A_(i,j) = A_(j,i)，则该矩阵为对称矩阵。
考点：
- 一般考存储下三角和主对角线；按行优先存储；基于一维数组下标从1开始存储的公式。
对称矩阵按行存储下三角区和主对角线并且下标从1（A_1,1）开始的公式：
- 当(i≥j)时：A_(i,j) = i(i - 1) / 2 + j
- 当(i≤j)时：A_(i,j) = j(j - 1) / 2 + i
- ---- ----
- 对称矩阵按行存储下三角区和主对角线并且下标从0（A_0,0）开始：
- 当(i≥j)时：A_(i,j)=i(i+1)/2+j+1
- 当(i≤j)时：A_(i,j)=j(j+1)/2+i+1
三对角矩阵：
概念：
- 有一个n×n矩阵A称为三对角矩阵，其中第(i,j)个元素在j > i + 1和j < i - 1时为零。
考点：
- 按行优先存储。
三对角矩阵按按存储并且下标从1（A_1,1）开始的公式：背
- A_(i,j) = 2i + j - 2
- ---- ----
- 三对角矩阵按按存储并且下标从1（A_1,1）开始：A_(i,j) = 2i + j - 2
稀疏矩阵：
- 三元组顺序表和十字链表是对稀疏矩阵进行压缩存储的方式。背
上述三种矩阵图例：
二叉树：
- 完全二叉树、满二叉树概念。
- 性质3。
二叉树的存储结构：
- 顺序存储需要维护结点和左、右孩子的关系：结点编号为n，则左孩子为2n，右孩子为2n+1。
- 链式存储有二叉链表和三叉链表。
- 对于个结点n的二叉树，二叉链表的空指针为n+1，三叉链表的空指针为n+2。
二叉树的遍历：
- 先序遍历和后序遍历，不能构造中序遍历。
- 通过序列构造二叉树必须有中序序列。
平衡二叉树：
- 左右子树高度差不能大于1。
有序二叉树：
- 有序二叉树，就是左子树上的数值小于树根上的值，树根上的值小于右子树的值。左右子树也是一颗二叉排序树。
- 最坏的查找情况是单枝树（即高度h为n）要查找n次。
二叉排序树关键字排序：
- 第一位为根节点，第二位与根节点比较插入到树中，依次类推。
最优二叉树（哈夫曼树）：
- 概念：它是一类带权路径长度最短的树。路径是从书中一个结点到另一个结点之间的通路，路径上的分支数目为路径长度。
- 哈夫曼树中权值越大的结点离根结点越近，权值越小的结点离根结点越远。
- 哈夫曼树只有度为0和度为2的结点，没有度为1的结点。
- n个权值构造的哈夫曼树具有2n-1个结点。
- 哈夫曼编码，基于贪心算法。
- 哈夫曼树中最小的两个结点互为兄弟结点。
构造最优二叉树：
- 方法：
- 规则：***
- 1. 从前往后找两个权重最小。2. 小左大右。3. 加入末尾。4. 权值相同从前往后。5. 用时再调。
压缩比计算：
- 概念：求等长编码到哈夫曼编码压缩了多少。
- 等长编码需要多少位。-> 公式：2^x >= 字符个数，x为需要多少位。
- 哈夫曼编码是变长编码，在哈夫曼树中，从根节点开始，给左右分支标记0，1。即一层节点占一位。
- 压缩比 =（等长编码长度 - 哈夫曼编码车长度） / 等长编码长度
图：
有向图、无向图：
- 无向图：连接顶点的边是无向边
- 有向图：连接顶点的边是有向边（弧）
- ---- ----
- 有向图和无向图的所有顶点度数之和 2e。（e为边数）
- 有向图和无向图的边数 e = 顶点度数之和/2。
完全图：
- 概念：每对顶点之间都恰连有一条边的图。
- 无向完全图：(n*(n-1)) / 2 条边
- 有向完全图：n*(n-1) 条边
连通图：
- 连通图：无向图中任意两个顶点之间都有路径。最少有n-1条边，最多有(n*(n-1))/2条边。
- 强连通图：有向图中任意两个顶点之间都有路径。 最少有n条边，最多有n*(n-1)条边。
最小生成树：
最小生成树-普利姆(Prim)算法：
- 贪心算法。
- 思想：从任意一个顶点开始，沿着权重最小的边进行扩展。
- 时间复杂度：O[n2]
最小生成树-克鲁斯卡尔(Kruskal)算法：
- 贪心算法。
- 思想：每次选择权重最小的边来将两个顶点连接起来。
- 时间复杂度为O[elog e]。
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- 若网较稠密，则Prim算法更好。
邻接矩阵：
- 概念：表示顶点之间相邻关系的矩阵。
- 查找所有顶点的邻居顶点的时间复杂度为O(n^2)。
邻接链表表示法：
- 邻接表更适合存储稀疏图（边数很少的图）
- 无向图采用邻接表存储有2e个表结点（e为边数）。
- 有向图采用邻接表存储有n+e个表结点（n为结点数，e为边数） 。
哈希表：
- 用线性探测法解决冲突容易产生聚集问题。
查找：
折半（二分）查找：
- 折半查找在查找成功时，关键字的比较次数最多为 log2(n) +1 。
- 折半查找的时间复杂度为O(log2n)。
- 要求元素顺序存储，元素有序排列。
- 考题：
- mid = (low+high）/2 取整， k > mid时， low = mid+1，k。并且注意细节
不能构成查找过程中关键字比较序列考题：
- 解题规律：比较序列可能是：大大大... ...大、小小小... ...小 、小大小大... ...小 大、大小大小... ...大小
排序：
- 当数列基本有序时，采用插入排序比较合适，使用插入排序中希尔排序。背
- 一定范围内的整数排序时，使用基数排序。例如：需要排序的记录是0-9的整数。
- 快速排序：采用分治思想。最坏O(n^2)，平均O（nlog2^n），一趟排序O(n)。基本有序时，快排具有最坏的情况。最佳的基准元素为中位数划分。
- 归并排序：采用分治思想。时间复杂度，最好最坏一致O（nlog2^n）。稳定。
- 堆排序：不稳定。空间复杂度O(1)。
堆：
使用数组构建大顶堆：
- 将数组转换成二叉树。
- 从最后一层的非叶子节点开始与叶子节点调整。一层一层的调整。调整过后导致已经调整的层大小顺序相反，则继续调整。
