面试题98:
问题：
一个机器人从m x n的格子的左上角出发，它每一步只能向下走或者向右走，计算机器人从左上角到达右下角的路径数量。
解决方案：
- 机器人每走一步都有两个选择，要么向下走要么向右走。一个任务需要多个步骤才能完成，每步面临若干选择，这类问题看起来可以用回溯法解决，但由于这个题目只要求计算从左上角到达右下角的路径的数目，并没有要求列出所有的路径，因此这个问题更适合用动态规划解决。
- 当i等于0或者j等于0时，机器人位于格子最左边的一列，机器人走到左下角或者右上角只能走直线，故f（0，0）走到f（i，0）或者f（0，j）都是只有一条路径。
- 当行号i、列号j都大于0时，机器人有两种方法可以到达坐标为（i，j）的位置。它既可以从坐标为（i-1，j）的位置向下走一步，也可以从坐标为（i，j-1）的位置向右走一步，因此，f（i，j）等于 f（i-1，j）与f（i，j-1）之和。
源代码（递归）：
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
return dfs(m-1,n-1,dp);
}
private int dfs(int i,int j,int[][] dp){
if(dp[i][j] == 0){
if(i == 0 || j == 0){
dp[i][j] = 1;
}else{
dp[i][j] = dfs(i-1,j,dp) + dfs(i,j-1,dp);
}
}
return dp[i][j];
}
}
源代码（迭代）：
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
dp[0][0] = 0;
for(int j = 0;j < n;j++){
dp[0][j] = 1;
}
for(int i = 1;i < m;i++){
dp[i][0] = 1;
for(int j = 1;j < n;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}
优化空间效率思路：
在计算f（i，j）时需要用到f（i-1，j）和f（i，j-1）的值。接下来在计算f（i，j+1）时需要用到f（i-1，j+1）和f（i，j）的值。由于在用f（i-1，j）计算出f（i，j）之后就不再需要f（i-1，j），因此可以只用一个位置来保存f（i-1，j）和f（i，j）的值。
源代码：
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp,1);
for(int i = 1;i < m;i++){
for(int j = 1;j < n;j++){
dp[j] += dp[j-1];
}
}
return dp[n-1];
}
}
面试题99：
问题：
在一个m x n的格子中，每个位置都有一个数字。机器人每步只能向下或向右，计算它从格子左上角到右下角的路径数字之和的最小值。
解决方案：
- 机器人每一步都有两种选择，要么向下走，要么向右走，但是题目并没有让我们计算出所有的路径，而是让我们计算路径的最小数字之和，故使用动态规划。
- 用函数f（i，j）表示从格子的左上角坐标为（0，0）的位置（用grid[0][0]表示）出发到达坐标为（i，j）的位置（用grid[i][j]表示）的路径的数字之和的最小值。如果格子的大小为m×n，那么f（m-1，n-1）就是问题的解。
- 当i等于0或者j等于0时，机器人位于格子最上面的一行，机器人只能向下或者向右，如果它想去左下角或者右上角，那么它只能走直线，f（i，0）就等于0到i的数字之和，f（0，j）就等于0到j的数字之和。
- 当行号i、列号j都大于0时，机器人有两种方法可以到达坐标为（i，j）的位置。它既可以从坐标为（i-1，j）的位置向下走一步，也可以从坐标为（i，j-1）的位置向右走一步，因此，f（i，j）等于 f（i-1，j）与f（i，j-1）的最小值加上grid[i][j]。
源代码：
class Solution {
public int minPathSum(int[][] grid) {
int len1 = grid.length;
int len2 = grid[0].length;
int[][] dp = new int[len1][len2];
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int j = 1;j < len2;j++){
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
}
for(int i = 1;i < len1;i++){
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
for(int j = 1;j < len2;j++){
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[len1-1][len2-1];
}
}
优化空间效率思路：
在计算f（i，j）时需要f（i-1，j）、f（i，j-1）的值。值得注意的是，f（i-1，j）在完成f（i，j）的计算之后再也用不到了，因此将f（i-1，j）和f（i，j）保存到同一个数组dp的同一个位置“dp[j]”中。而f（i，j-1）在计算f（i，j）之前就已经计算好了。
源代码：
class Solution {
public int minPathSum(int[][] grid) {
int len1 = grid.length;
int len2 = grid[0].length;
int[] dp = new int[len2];
dp[0] = grid[0][0];
for(int j = 1;j < len2;j++){
dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j];
}
for(int i = 1;i < len1;i++){
//注意：这里与上题不一样，因为上题是求路径数目，dp【i】与dp【j】相同都是1，使用上题不需要这个步骤。而这题不同，求的是路径和，故需要进行grid[i][0]的累加操作。
dp[0] += grid[i][0];
for(int j = 1;j < len2;j++){
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-1]) + grid[i][j];
}
}
return dp[len2-1];
}
}
面试题100：
问题：
在一个由数字组成的三角形中，第1个行有1个数字，第2行有2个数字，以此类推，第n行有n个数字。每步只能前往下一行中相邻的数字，计算从三角形顶部到底部的路径经过的数字之和的最小值。
解决方案：
- 如果一个三角形有多行，那么从它的顶部到底部需要多步，而且每步都面临两个选择。但是题目没要求我们写出从三角形顶部到底部的全部路径，而是让我们求三角形顶部到底部的最小路径之和，故使用动态规划解决该问题。
- 可以用f（i，j）表示从三角形的顶部出发到达行号和列号分别为i和j（i≥j）的位置时路径数字之和的最小值，同时用T[i][j]表示三角形行号和列号分别为i和j的数字。如果三角形中包含n行数字，那么 f（n-1，j）的最小值就是整个问题的最优解。
- 如果j等于0，也就是当前到达某行的第1个数字。由于路径的每步都是前往正下方或右下方的数字，而此时当前位置的左上方没有数字，那么前一步是一定来自它的正上方的数字，因此f（i，0）等于 f（i-1，0）与T[i][0]之和。如果i等于j，也就是当前到达某行的最后一个数字，此时它的正上方没有数字，前一步只能是来自它左上方的数字，因此f（i，i）等于f（i-1，i-1）与T[i][i]之和。
- 如果当前行号和列号分别为i和j的位置位于某行的中间，那么前一步既可能是来自它正上方的数字（行号和列号分别为i-1和j），也可能是来自它左上方的数字（行号和列号分别为i-1和j-1），所以 f（i，j）等于f（i-1，j）与f（i-1，j-1）的最小值再加上T[i][j]。
源代码：
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int len = triangle.size();
int[][] dp = new int[len][len];
dp[0][0] = triangle.get(0).get(0);
for(int i = 1;i < len;i++){
dp[i][0] = dp[i-1][0] + triangle.get(i).get(0);
}
for(int i = 1;i < len;i++){
for(int j = 1;j <= i;j++){
if(j == i){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + triangle.get(i).get(j);
}else{
dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int j = 0;j < len;j++){
min = Math.min(min,dp[len-1][j]);
}
return min;
}
}
优化空间效率思路：
- 在计算f（i，j）之前“dp[j]”中保存的是f（i-1，j）的值。在计算f（i，j）时需要f（i-1，j-1）和f（i-1，j）。在计算完 f（i，j）之后能否用f（i，j）的值覆盖保存在“dp[j]”中的f（i-1，j）取决于是否还需要f（i-1，j）的值。
- 如果从左到右计算的话，计算f（i，j）后会覆盖f（i-1，j），但是后面计算f（i，j+1）的时候还需要用到f（i-1，j），由于计算f（i，j）时并不依赖同一行左侧的f（i，j-1），所以我们可以按照从右到左的顺序计算。
源代码：
class Solution {
public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
int len = triangle.size();
int[] dp = new int[len];
dp[0] = triangle.get(0).get(0);
for(int i = 1;i < len;i++){
for(int j = i;j >= 0;j--){
if(j == 0){
dp[j] += triangle.get(i).get(j);
}else if(j == i){
dp[j] = dp[j-1] + triangle.get(i).get(j);
}else{
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-1]) + triangle.get(i).get(j);
}
}
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int j = 0;j < len;j++){
min = Math.min(min,dp[j]);
}
return min;
}
}
