本文用于记录个人算法竞赛学习，仅供参考

目录

一.欧拉函数

 二.欧拉函数模板

三.用筛法求每个数的欧拉函数

 四.快速幂

 五.扩展欧几里得算法

 六.用扩展欧几里得算法求线性同余方程

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一.欧拉函数

 即有一个数n， n通过质因数分解得到

通过欧拉函数有

证明：容斥原理

 二.欧拉函数模板

实际上就是分解质因数

时间复杂度：O()

//计算一个数的欧拉函数的值
int phi(int x)
{
	int result = x;
	//分解质因数
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
	{
		if (x % i == 0)
		{
			//注意变形
			result = result / i * (i - 1);
			//将质数i除干净
			while (x % i == 0)
				x /= i;
		}
	}
	if (x > 1)
		result = result / x * (x - 1);

	return result;
}

三.用筛法求每个数的欧拉函数

求一个数的欧拉函数是O(), 用遍历每个数的方法来求每个数欧拉函数时间复杂度是O(),用筛法求每个数的欧拉函数只需要O(n)

//筛法求欧拉函数

const int N = 100;
int primes[N], cnt; //primes存储素数，cnt用于计数
int eulers[N];       //存储每个数的欧拉函数
bool st[N];         //st判断该数是否被筛掉

void get_eulers(int n)
{
	eulers[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!st[i])
		{
			primes[cnt++] = i;
			eulers[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++)
		{
			int t = primes[j] * i;
			st[t] = true;
			if (i % primes[j] == 0)
			{
				eulers[t] = eulers[i] * primes[j];
				break;
			}
			eulers[t] = eulers[i] * (primes[j] - 1);
		}
	}
}

 四.快速幂

 

//求 m^ k mod p，时间复杂度 O(logk)。

int qmi(int m, int k, int p)
{
	int result = 1;
	int t = m;
	while (k)
	{
		if (k & 1)
			result = result * t % p;
		t = t * t % p;
		k >>= 1;
	}
	return result;
}

 五.扩展欧几里得算法

 

 

//扩展欧几里得算法
//ax + by = gcd(a,b),求x，y
//注意xy是&
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
	//递归终点
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;

	return d;
}

 六.用扩展欧几里得算法求线性同余方程

//扩展欧几里得算法
//ax + by = gcd(a,b),求x，y
//注意xy是&
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
	//递归终点
	if (!b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= (a / b) * x;

	return d;
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	while (n--)
	{
		int a, b, m;
		scanf("%d %d %d", &a, &b, &m);
		int x = 0, y = 0;
		int d = exgcd(a, m, x, y);
		if (b % d != 0)
			printf("impossible\n");
		else
			printf("%d\n", (b / d) * x % m);
	}

	return 0;
}