参考教程：https://courses.d2l.ai/zh-v2/

线性模型

定义：回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
线性假设是指目标可以表示为特征的加权和,权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
当我们的输入包含d个特征时，我们将预测结果y^ （通常使用“尖角”符号表示y的估计值）表示为：
$$\hat{y}=w_1{x}_1+\dots +w_d{x}_d+b$$在开始寻找最好的模型参数（model parameters）w和b之前， 我们还需要两个东西： （1）一种模型质量的度量方式； （2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

• 线性回归是对n维输入的加权，外加偏差
• 使用平方损失来衡量预测值和真实值的差异
• 线性回归可以看做是单层神经网络

（1）度量模型质量-损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。 损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本i的预测值为y^(i)，其相应的真实标签为y(i)时， 平方损失可以定义为以下公式：
$$l^{(i)}(\mathbf{w},b)=\frac{1}{2}{\left({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}\right)}^2$$常数1/2不会带来本质的差别，但这样在计算上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。

（2）更新模型以提高模型预测质量-随机梯度下降

梯度下降（gradient descent）的方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。
在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量B， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η，并从当前参数的值中减掉。
B表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 η表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。 调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。
其中选择批量，不能太小：每次计算量太小，不适合并行来最大利用计算资源。不能太大：内存消耗增加，浪费计算。

• 梯度下降通过不断沿着反梯度方向更新参数求解
• 小批量随机梯度下降是深度学习默认的求解算法
• 两个重要的超参数是批量大小和学习率

神经网络图

在计算层数时不考虑输入层。，也就是说，图中神经网络的层数为1。 我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换（ 图中的输出层） 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

线性回归的从零开始实现

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l
#生成合成数据集
def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))#随机数，服从（0,1）正态分布
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
    return X, y.reshape((-1, 1))

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])
#features: tensor([0.0257, 0.4013]) 
#label: tensor([2.8992])
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);
#读取数据集
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]
def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)#打乱
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]
batch_size = 10
#初始化模型参数
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)#设为True，需要计算梯度
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
#定义模型
def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b
# 定义损失函数
def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2
#定义优化算法
def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()#梯度设0
#训练
lr = 0.03#学习率
num_epochs = 3#迭代次数
net = linreg#模型
loss = squared_loss#均方损失
#上述写法方便以后做修改
for epoch in range(num_epochs):#每次扫一遍数据
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
        # 并以此计算关于[w,b]的梯度
        l.sum().backward()
        sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

线性回归的简洁实现

通过使用深度学习框架来简洁地实现线性回归模型生成数据集

import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l

true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)
#读取数据集
def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):  #@save
    """构造一个PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)#打乱数据

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)
#定义模型
# nn是神经网络的缩写
from torch import nn
# 我们将两个参数传递到nn.Linear中。 第一个指定输入特征形状，即2，第二个指定输出特征形状，输出特征形状为单个标量，因此为1。
net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))
#初始化模型参数
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)
#定义损失函数
loss = nn.MSELoss()
#定义优化算法
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)
#训练
num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X) ,y)
        trainer.zero_grad()#清0
        l.backward()
        trainer.step()#模型更新
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')

• 我们可以使用PyTorch的高级API更简洁地实现模型。
• 在PyTorch中，data模块提供了数据处理工具，nn模块定义了大量的神经网络层和常见损失函数。
• 我们可以通过_结尾的方法将参数替换，从而初始化参数。