题目描述
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
- 插入一个数 x。
- 删除一个数 x（若有多个相同的数，应只删除一个）。
- 定义排名为比当前数小的数的个数 +1。查询 x 的排名。
- 查询数据结构中排名为 x 的数。
- 求 x 的前驱（前驱定义为小于 x，且最大的数）。
- 求 x 的后继（后继定义为大于 x，且最小的数）。
对于操作 3,5,6，不保证当前数据结构中存在数 x。
输入格式
第一行为 n，表示操作的个数,下面 n 行每行有两个数 opt 和 x，opt 表示操作的序号（1≤opt≤6）
输出格式
对于操作 3,4,5,6 每行输出一个数，表示对应答案。
输入输出样例
输入 #1复制
10 1 106465 4 1 1 317721 1 460929 1 644985 1 84185 1 89851 6 81968 1 492737 5 493598
输出 #1复制
106465 84185 492737
说明/提示
【数据范围】
对于 100% 的数据，1≤n≤105，∣x∣≤107
解析：
这时一个思维的跨度：
我们自己构造平衡二叉树，左儿子节点小于父节点，右儿子的全部节点大于父节点。
我们需要对二叉树进行左转和右转。
每次进行转动时替代其相对的儿子。
比如：
右旋时：x的右儿子当作y的左儿子。
这里你们可能会问为什么当y的左儿子呢？
答：因为这是一颗平衡二叉树，左儿子一定小于父节点。
而且x为y的左儿子，x的任意一个儿子一定小于其x的父节点。
左旋同理。
实现代码是用异或操作，刚好就是其儿子转动的对立面。比如：x右旋，x的右儿子为y,这时原本的x的右儿子就要当y的左儿子。这样子x的右儿子不会丢失。又满足平衡二叉树的性质。
实现左旋右旋代码如下：
void rotate(int x) // 可以进行左旋 和右旋
{
//先修 z ;在修 y ;在修 x的儿子节点;在修 x本身
int y = tr[x].fa,z = tr[y].fa, k = tr[y].ch[1] == x; // z -> y -> x 我们需要 将 它转为 z->x->y;
tr[z].ch[tr[z].ch[1] ==y] = x, tr[x].fa = z; // z的 儿子 为 y 替换为 x , 在将 x 的父节点 为 x
tr[y].ch[k] = tr[x].ch[k^1];//比如如果 初始 y的左儿子为 x 当替换完。 y的左儿子空了 ,将x的右儿子给y的做儿子
tr[tr[x].ch[k^1]].fa = y; // 从x下的儿子 替换到 y 下时 ，儿子的父节点要变
tr[x].ch[k^1] = y;//这时x那个替换到 y的儿子空位了。
tr[y].fa = x;
pushup(y);//先push儿子在父节点
pushup(x);
}
下面就是我们如何维护这个平衡二叉树的树高，尽可能使它的高度最小。
我学到的方法是， 当一棵树他是以直线型,折线型时，如下图所示：
当直线型时，先旋转它的父节点，在旋转它自己本身。
当折线型时，先旋转它自己，在旋它自己。
代码如下：
void splay(int x,int k) //k为父节点
{
while(tr[x].fa != k)
{
int y = tr[x].fa,z = tr[y].fa;//从 x起 2个父节点
if(z != k){ // 如果 是 一条 有折线时
//如果 时一条 直线 时 1^1 为 false ,先选 y 在旋 x
(ls(y) == x)^(ls(z)==y) ? rotate(x):rotate(y);
}
rotate(x);
}
if(!k){//等于 0 的时候 才为 根节点
root = x;
}
}还有一个前驱操作：
先用find函数这个节点在那里。
在遍历它的左儿子的右儿子。到达最右的那个儿子。
后继也是一样。
void find(int v)
{
int x = root;
while(tr[x].ch[v > tr[x].v] && v!=tr[x].v)
{
x = tr[x].ch[v > tr[x].v];
}
splay(x,0);
}
int getpre(int v)
{
find(v);
int x = root;
if(tr[x].v < v){
return x;
}
x = ls(x);
while(rs(x)){
x = rs(x);
}
splay(x,0);
return x;
}
int getsuc(int v)
{
find(v);
int x = root;
if(tr[x].v > v) return x;
x = rs(x);
while(ls(x)) x = ls(x);
splay(x,0);
return x;
}删除操作：
我们找到它的前驱和后继，再进行把删除的点移到其后继的左儿子上，再进行删除操作。
这个需要画图理解一下。
void del(int v)//删除
{
int pre = getpre(v);
int suc = getsuc(v);
splay(pre,0);
splay(suc,pre);//将它转到左节点方便删除
int del = tr[suc].ch[0];
if(tr[del].cnt > 1)
{
tr[del].cnt--;
splay(del,0);
}
else{
tr[suc].ch[0] = 0;
splay(suc,0);
}
}刚开始插入操作时，我们要进行哨兵的插入。
完整代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls(x) tr[x].ch[0]
#define rs(x) tr[x].ch[1]
const int N = 1100010,INF = (1<<30)-1;
struct node{
int ch[2];
int fa;
int v;
int cnt;
int siz;
void init(int p,int v1){
fa = p;
v = v1;
cnt = siz = 1;
}
}tr[N];
int root = 0,tot = 0;
void pushup(int x)
{
tr[x].siz = tr[ls(x)].siz + tr[rs(x)].siz + tr[x].cnt;
}
void rotate(int x) // 可以进行左旋 和右旋
{
//先修 z ;在修 y ;在修 x的儿子节点;在修 x本身
int y = tr[x].fa,z = tr[y].fa, k = tr[y].ch[1] == x; // z -> y -> x 我们需要 将 它转为 z->x->y;
tr[z].ch[tr[z].ch[1] ==y] = x, tr[x].fa = z; // z的 儿子 为 y 替换为 x , 在将 x 的父节点 为 x
tr[y].ch[k] = tr[x].ch[k^1];//比如如果 初始 y的左儿子为 x 当替换完。 y的左儿子空了 ,将x的右儿子给y的做儿子
tr[tr[x].ch[k^1]].fa = y; // 从x下的儿子 替换到 y 下时 ，儿子的父节点要变
tr[x].ch[k^1] = y;//这时x那个替换到 y的儿子空位了。
tr[y].fa = x;
pushup(y);//先push儿子在父节点
pushup(x);
}
void splay(int x,int k) //k为父节点
{
while(tr[x].fa != k)
{
int y = tr[x].fa,z = tr[y].fa;//从 x起 2个父节点
if(z != k){ // 如果 是 一条 有折线时
//如果 时一条 直线 时 1^1 为 false ,先选 y 在旋 x
(ls(y) == x)^(ls(z)==y) ? rotate(x):rotate(y);
}
rotate(x);
}
if(!k){//等于 0 的时候 才为 根节点
root = x;
}
}
void insert(int v) //插入 节点
{
int x = root,p = 0;
while(x&& tr[x].v != v){ // 弹出 条件 x 为 0节点 找不到 或者 找到当前节点
p = x, x = tr[x].ch[v > tr[x].v];
}
if(x) {
tr[x].cnt++;
}
else{ // 新创建 一个节点
x = ++tot;
tr[p].ch[v>tr[p].v] = x;
tr[x].init(p,v);
}
splay(x,0);
}
void find(int v)
{
int x = root;
while(tr[x].ch[v > tr[x].v] && v!=tr[x].v)
{
x = tr[x].ch[v > tr[x].v];
}
splay(x,0);
}
int getpre(int v)
{
find(v);
int x = root;
if(tr[x].v < v){
return x;
}
x = ls(x);
while(rs(x)){
x = rs(x);
}
splay(x,0);
return x;
}
int getsuc(int v)
{
find(v);
int x = root;
if(tr[x].v > v) return x;
x = rs(x);
while(ls(x)) x = ls(x);
splay(x,0);
return x;
}
void del(int v)//删除
{
int pre = getpre(v);
int suc = getsuc(v);
splay(pre,0);
splay(suc,pre);//将它转到左节点方便删除
int del = tr[suc].ch[0];
if(tr[del].cnt > 1)
{
tr[del].cnt--;
splay(del,0);
}
else{
tr[suc].ch[0] = 0;
splay(suc,0);
}
}
int getrank(int v)
{
insert(v);
int res = tr[tr[root].ch[0]].siz;
del(v);
return res;
}
int getval(int k) //第k个值
{
int x = root;
while(true)
{
if(k <= tr[ls(x)].siz) x = ls(x);
else if(k <= tr[ls(x)].siz + tr[x].cnt) break;
else k -= tr[ls(x)].siz + tr[x].cnt,x = rs(x);
}
splay(x,0);
return tr[x].v;
}
int main()
{
insert(-INF);//加入哨兵
insert(INF);
int n,op,x;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%d%d",&op,&x);
if(op == 1){
insert(x);
}
else if(op == 2){
del(x);
}
else if(op == 3)
{
printf("%d\n",getrank(x));
}else if(op == 4){
printf("%d\n",getval(x+1)); //因为有哨兵
}else if(op == 5)
{
printf("%d\n",tr[getpre(x)].v);
}else{
printf("%d\n",tr[getsuc(x)].v);
}
}
return 0;
} 时间复杂度为：O（n*logn)
