【Leetcode每日一题】动态规划 - 不同路径（难度⭐⭐）（46）

news2024/10/10 22:20:45

1. 题目解析

题目链接：62. 不同路径

这个问题的理解其实相当简单，只需看一下示例，基本就能明白其含义了。

2.算法原理

想要解决这个问题，我们得像个侦探一样，一步步地追踪路径，找出所有可能的走法。接下来，让我们一步步地拆解这个问题，看看怎么找到答案。

动态规划问题还是经典五步走~

一、设定状态表

想象你站在一个棋盘上，你的任务是找出从起点到终点有多少种不同的走法。在这个问题里，我们可以设定一个状态表来记录每一步的可能性。

具体来说，我们用dp[i][j]来表示到达棋盘上的第i行第j列位置时有多少种走法。这样，我们只需要关注当前位置，而不需要考虑之前是怎么走过来的。

二、分析状态转移

现在，假设你站在[i, j]这个位置，想要知道到达这里有多少种走法。显然，你可能是从上方[i-1, j]位置走下来的，也可能是从左方[i, j-1]位置走过来的。

因此，我们可以得出一个结论：到达[i, j]位置的走法数，就是到达上方位置[i-1, j]的走法数与到达左方位置[i, j-1]的走法数之和。用数学公式表示就是：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

三、初始化状态表

在填表之前，我们需要给状态表一个初始值。通常，我们可以在棋盘的最前面加一列和一行作为辅助结点，来帮助我们进行初始化。

在这个问题里，我们只需要在棋盘的最上方和最左边各添加一个辅助结点，并将左上角的辅助结点dp[0][1]初始化为1（因为从起点开始只有一种走法）。这样，我们就可以开始填表了。

四、按顺序填表

填表的顺序很关键。由于我们是根据上方和左方的状态来推算当前位置的状态，所以我们需要按照从上到下、从左到右的顺序来填表。这样，当我们填写某个位置时，它上方和左方的位置都已经填好了，我们就可以直接引用它们的结果。

五、找出答案

最后，当我们填完整个状态表后，答案就藏在最后一个位置dp[m][n]里。这个位置记录了从起点到终点的所有可能走法数。

3.代码编写

class Solution 
{
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));//多开一行一列
        dp[0][1] = 1;//细节在这
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m][n];
    }
};