1.动态规划理论基础

1.1 什么是动态规划?

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

1.2 动态规划的解题步骤

动态规划五部曲：

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
• 确定递推公式
• dp数组如何初始化
• 确定遍历顺序
• 举例推导dp数组

2.斐波那契数

题目：

思路：
状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

代码：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
       
        # 排除 Corner Case
        if n == 0:
            return 0
        
        # 创建 dp table 
        dp = [0] * (n + 1)

        # 初始化 dp 数组
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        # 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
        for i in range(2, n + 1):

            # 确定递归公式/状态转移公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        
        # 返回答案
        return dp[n]

3.爬楼梯

题目：

思路：
递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

代码：

class Solution:
    def climbStairs(self, n: int) -> int:
        if n == 1:return 1
        if n == 2:return 2
        dp = [0] * (n + 1)
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3,n+1):
            dp[i] = dp[i - 2] + dp[i-1]
        return dp[n]

4.使用最小花费爬楼梯

题目：

思路：
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
递推公式：
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
注：楼顶的下标是n+1

代码：

class Solution:
    def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:
        dp = [0] * (len(cost) + 1)
        # dp[0] = 0  # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力
        # dp[1] = 0  # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力
        
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            # 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步
            # 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，更新dp数组
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        
        return dp[len(cost)]  # 返回到达楼顶的最小花费

5.不同路径

题目：

思路：
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。

递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。

代码：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        # 创建一个二维列表用于存储唯一路径数
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        
        # 设置第一行和第一列的基本情况
        for i in range(m):
            dp[i][0] = 1
        for j in range(n):
            dp[0][j] = 1
        
        # 计算每个单元格的唯一路径数
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        
        # 返回右下角单元格的唯一路径数
        return dp[m - 1][n - 1]

6.不同路径 II

题目：

思路：
【注】边界初始化时要注意障碍物，还要考虑到起始点和终止点的障碍物
当网格中没有障碍物时，执行递推公式。

代码：

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        if obstacleGrid[0][0] == 1 or obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1:
            return 0
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        i = 0
        j = 0
        while i < m and obstacleGrid[i][0] != 1:
            dp[i][0] = 1
            i += 1
        while j < n and obstacleGrid[0][j] != 1:
            dp[0][j] = 1
            j += 1
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                if obstacleGrid[i][j] != 1:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[m-1][n-1]

7. 整数拆分

题目：

思路：
dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]

递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

代码：

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)
        for i in range(2,n+1):
            j = 1
            while j <= i // 2:
                dp[i] = max(j * (i - j),j*dp[i - j],dp[i])
                j += 1
        return dp[n]

8. 不同的二叉搜索树

题目：

思路：
思路详解

代码：

class Solution:
    def numTrees(self, n: int) -> int:
        dp = [0] * (n + 1)  # 创建一个长度为n+1的数组，初始化为0
        dp[0] = 1  # 当n为0时，只有一种情况，即空树，所以dp[0] = 1
        for i in range(1, n + 1):  # 遍历从1到n的每个数字
            for j in range(1, i + 1):  # 对于每个数字i，计算以i为根节点的二叉搜索树的数量
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]  # 利用动态规划的思想，累加左子树和右子树的组合数量
        return dp[n]  # 返回以1到n为节点的二叉搜索树的总数量