第一门课：神经网络和深度学习 (Neural Networks and Deep Learning)

第三周：浅层神经网络(Shallow neural networks)

3.6 激活函数（Activation functions）

使用一个神经网络时，需要决定使用哪种激活函数用隐藏层上，哪种用在输出节点上。到目前为止，之前的视频只用过 sigmoid 激活函数，但是，有时其他的激活函数效果会更好。

在神经网路的前向传播中，$a^{[1]}=\sigma (z^{[1]})$和$a^{[2]}=\sigma (z^{[2]})$这两步会使用到sigmoid函数。sigmoid 函数在这里被称为激活函数。

公式 3.18：$a=\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

更通常的情况下，使用不同的函数$g(z^{[1]})$，g可以是除了 sigmoid 函数意外的非线性函数。tanh 函数或者双曲正切函数是总体上都优于 sigmoid 函数的激活函数。如图，a= tan(z)的值域是位于+1 和-1 之间。

公式 3.19： $a=tanh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$

事实上，tanh 函数是 sigmoid 的向下平移和伸缩后的结果。对它进行了变形后，穿过了(0,0)点，并且值域介于+1 和-1 之间。

结果表明，如果在隐藏层上使用函数公式 3.20： $g(z^{[1]})=tanh(z^{[1]})$ 效果总是优于 sigmoid 函数。因为函数值域在-1 和+1的激活函数，其均值是更接近零均值的。在训练一个算法模型时，如果使用 tanh 函数代替sigmoid 函数中心化数据，使得数据的平均值更接近 0 而不是 0.5.

在讨论优化算法时，有一点要说明：我基本已经不用 sigmoid 激活函数了，tanh 函数在所有场合都优于 sigmoid 函数。但有一个例外：在二分类的问题中，对于输出层，因为𝑦的值是 0 或 1，所以想让$\hat{y}$的数值介于 0 和 1 之间，而不是在-1 和+1 之间。所以需要使用 sigmoid 激活函数。

这里的公式 3.21： $g(z^{[2]})=\sigma (z^{[2]})$在这个例子里看到的是，对隐藏层使用 tanh 激活函数，输出层使用 sigmoid 函数。

所以，在不同的神经网络层中，激活函数可以不同。为了表示不同的激活函数，在不同的层中，使用方括号上标来指出𝑔上标为[1]的激活函数，可能会跟𝑔上标为[2]不同。方括号上标[1]代表隐藏层，方括号上标[2]表示输出层。

sigmoid 函数和 tanh 函数两者共同的缺点是，在𝑧特别大或者特别小的情况下，导数的梯度或者函数的斜率会变得特别小，最后就会接近于 0，导致降低梯度下降的速度。

在机器学习另一个很流行的函数是：修正线性单元的函数（ReLu），ReLu 函数图像是如下图。 公式 3.22： 𝑎 = 𝑚𝑎𝑥(0, 𝑧) 所以，只要𝑧是正值的情况下，导数恒等于 1，当𝑧是负值的时候，导数恒等于 0。从实际上来说，当使用𝑧的导数时，𝑧=0 的导数是没有定义的。但是当编程实现的时候，𝑧的取值刚好等于 0.00000001，这个值相当小，所以，在实践中，不需要担心这个值，𝑧是等于 0 的时候，假设一个导数是 1 或者 0 效果都可以。

这有一些选择激活函数的经验法则：如果输出是 0、1 值（二分类问题），则输出层选择 sigmoid 函数，然后其它的所有单元都选择 Relu 函数。

这是很多激活函数的默认选择，如果在隐藏层上不确定使用哪个激活函数，那么通常会使用 Relu 激活函数。有时，也会使用 tanh 激活函数，但 Relu 的一个优点是：当𝑧是负值的时候，导数等于 0。

这里也有另一个版本的 Relu 被称为 Leaky Relu。当𝑧是负值时，这个函数的值不是等于 0，而是轻微的倾斜，如图。这个函数通常比 Relu 激活函数效果要好，尽管在实际中 Leaky ReLu 使用的并不多。

两者的优点是：
第一，在𝑧的区间变动很大的情况下，激活函数的导数或者激活函数的斜率都会远大于0，在程序实现就是一个 if-else 语句，而 sigmoid 函数需要进行浮点四则运算，在实践中，使用 ReLu 激活函数神经网络通常会比使用 sigmoid 或者 tanh 激活函数学习的更快。

第二，sigmoid 和 tanh 函数的导数在正负饱和区的梯度都会接近于 0，这会造成梯度弥散，而 Relu 和 Leaky ReLu 函数大于 0 部分都为常数，不会产生梯度弥散现象。(同时应该注意到的是，Relu 进入负半区的时候，梯度为 0，神经元此时不会训练，产生所谓的稀疏性，而 Leaky ReLu 不会有这问题)

𝑧在 ReLu 的梯度一半都是 0，但是，有足够的隐藏层使得 z 值大于 0，所以对大多数的训练数据来说学习过程仍然可以很快。

快速概括一下不同激活函数的过程和结论：
sigmoid 激活函数：除了输出层是一个二分类问题基本不会用它。
tanh 激活函数：tanh 是非常优秀的，几乎适合所有场合。
ReLu 激活函数：最常用的默认函数，如果不确定用哪个激活函数，就使用 ReLu 或者Leaky ReLu。

公式 3.23： 𝑎 = 𝑚𝑎𝑥(0.01𝑧, 𝑧)
为什么常数是 0.01？当然，可以为学习算法选择不同的参数。

在选择自己神经网络的激活函数时，有一定的直观感受，在深度学习中的经常遇到一个问题：在编写神经网络的时候，会有很多选择：隐藏层单元的个数、激活函数的选择、初始化权值……这些选择想得到一个对比较好的指导原则是挺困难的。

鉴于以上三个原因，以及在工业界的见闻，提供一种直观的感受，哪一种工业界用的多，哪一种用的少。但是，自己的神经网络的应用，以及其特殊性，是很难提前知道选择哪些效果更好。所以通常的建议是：如果不确定哪一个激活函数效果更好，可以把它们都试试，然后在验证集或者发展集上进行评价。然后看哪一种表现的更好，就去使用它。

为自己的神经网络的应用测试这些不同的选择，会在以后检验自己的神经网络或者评估算法的时候，看到不同的效果。如果仅仅遵守使用默认的 ReLu 激活函数，而不要用其他的激励函数，那就可能在近期或者往后，每次解决问题的时候都使用相同的办法。

3.7 为什么需要非线性激活函数？（why need a nonlinear activation function?）

为什么神经网络需要非线性激活函数？事实证明：要让你的神经网络能够计算出有趣的函数，你必须使用非线性激活函数，证明如下：

这是神经网络正向传播的方程，现在我们去掉函数g，然后令$a^{[1]}=z^{[1]}$，或者我们也可以令g(z) = z，这个有时被叫做线性激活函数（更学术点的名字是恒等激励函数，因为它们就是把输入值输出）。为了说明问题我们把$a^{[2]}=z^{[2]}$，那么这个模型的输出𝑦或仅仅只是输入特征𝑥的线性组合。

如果我们改变前面的式子，令：
(1) $a^{[1]}=z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$
(2) $a^{[2]}=z^{[2]}=W^{[2]}{a}^{[1]}+b^{[2]}$
将式子 (1) 代 入 式 子 (2) 中 ， 则 ： $a^{[2]}=z^{[2]}=W^{[2]}(W^{[1]}x+b^{[1]})+b^{[2]}$
(3) $a^{[2]}=z^{[2]}=W^{[2]}{W}^{[1]}x+W^{[2]}{b}^{[1]}+b^{[2]}$
简化多项式得 $a^{[2]}=z^{[2]}=W^{\prime }x+b^{\prime }$

如果你是用线性激活函数或者叫恒等激励函数，那么神经网络只是把输入线性组合再输出。

我们稍后会谈到深度网络，有很多层的神经网络，很多隐藏层。事实证明，如果你使用线性激活函数或者没有使用一个激活函数，那么无论你的神经网络有多少层一直在做的只是计算线性函数，所以不如直接去掉全部隐藏层。在我们的简明案例中，事实证明如果你在隐藏层用线性激活函数，在输出层用 sigmoid 函数，那么这个模型的复杂度和没有任何隐藏层的标准 Logistic 回归是一样的，如果你愿意的话，可以证明一下。

在这里线性隐层一点用也没有，因为这两个线性函数的组合本身就是线性函数，所以除非你引入非线性，否则你无法计算更有趣的函数，即使你的网络层数再多也不行；只有一个地方可以使用线性激活函数------𝑔(𝑧) = 𝑧，就是你在做机器学习中的回归问题。𝑦 是一个实数，举个例子，比如你想预测房地产价格，𝑦 就不是二分类任务 0 或 1，而是一个实数，从0 到正无穷。如果𝑦 是个实数，那么在输出层用线性激活函数也许可行，你的输出也是一个实数，从负无穷到正无穷。

总而言之，不能在隐藏层用线性激活函数，可以用 ReLU 或者 tanh 或者 leaky ReLU 或者其他的非线性激活函数，唯一可以用线性激活函数的通常就是输出层；除了这种情况，会在隐层用线性函数的，除了一些特殊情况，比如与压缩有关的，那方面在这里将不深入讨论。在这之外，在隐层使用线性激活函数非常少见。因为房价都是非负数，所以我们也可以在输出层使用 ReLU 函数这样你的𝑦^都大于等于 0。

理解为什么使用非线性激活函数对于神经网络十分关键，接下来我们讨论梯度下降，并在下一个视频中开始讨论梯度下降的基础——激活函数的导数。

3.8 激活函数的导数（Derivatives of activation functions）

在神经网络中使用反向传播的时候，你真的需要计算激活函数的斜率或者导数。针对以下四种激活，求其导数如下：

其具体的求导如下：
公式 3.25：
$$\frac{d}{dz}g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})=g(z)(1-g(z))$$

注：
当z = 10 或z= −10 $\frac{d}{dz}g(z)$ ≈ 0; 当z= 0 $\frac{d}{dz}g(z)=g(z)(1-g(z))$ = 1/4

在神经网络中 a = g(z); g(z)′ =$\frac{d}{dz}g(z)=a(1-a)$

其具体的求导如下：
公式 3.26： $$g(z)=tanh(z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$$

公式 3.27： $$\frac{d}{dz}g(z)=1-(tanh(z){)}^2$$

注：
当𝑧 = 10 或𝑧 = −10 $\frac{d}{dz}g(z)$ ≈ 0; 当𝑧 = 0，$\frac{d}{dz}g(z)$ = 1 − (0) = 1;

注：通常在𝑧= 0 的时候给定其导数 1,0；当然𝑧=0 的情况很少

注：通常在𝑧 = 0的时候给定其导数 1,0.01；当然𝑧 = 0的情况很少