【数据结构与算法】java有向带权图最短路径算法-Dijkstra算法（通俗易懂）

news2024/11/24 20:47:30

一、什么是Dijkstra算法

Dijkstra算法的核心思想是通过逐步逼近的方式，找出从起点到图中其他所有节点的最短路径。算法的基本步骤如下：

举个例子：

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如图所示的V1-V6六个点及他们的有向权重连线，现在我们假设从V1点出发,画出从顶点V1到其余各点最短路径的过程：

首先，我们将V1拿出来，V1能通向V2和V3,V1到V1的距离我们可以看成0，V1到V2的距离是10，V1到V3的距离是12，V1不能直接到达V4，V5，V6，我们可以看成是无穷大，那么V1的上一个结点是V1，V2和V3的上一个结点也是V1。V4，V5，V6此是没有连接结点记为-1，得到如下表格

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然后根据距离数组{0,10,12,∞,∞,∞}，找出数组中距离最小的值，即V2的10，我们将V2拿出来放到数组S中,则数组V中还剩余{V3,V4,V5,V6}，现在我们取出了V1，V2；V1到V1和V2的位置还是没有变，取出V2后，V1到V3没有新的通路，所以距离还是12，所以V3的上一个点还是V1；V4和V5是可以根据V2进行跟新的，V4=10+16=26,V5=10=25=35，我们取出了V1，V2，到V6还是没有路线可以走，所以更新之后的表格如下：

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我们距离数组{0,10,12,26,35,∞}中，选取最小值，即12的V3结点加入数组S中，数组V为{V4,V5,V6}，现在加入的结点为V1、V2、V3，现在V1到V2的路线多出来V1-V3-V2，但是总长度是15比原本的10要大啊，所以不做变化，V1到V3的距离还是12，V1-V4有两条路（V1-V2-V4）和（V1-V3-V4）跟新后的V1-V3-V4距离是24比原来的26更短，所以替换之，然后V4上一个点的坐标就变成了V3，我们再看一下V1-V5，（V1-V2-V5）和（V1-V3-V2-V5）显然还是原本的35是最短距离；V1-V6的路径是（V1-V3-V6）距离是20，更新表格：

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我们在数组{0,10,12,24,35,20}可以看出在去掉V1、V2、V3之后最小的点是V6的20，所以我们将V6加入到数组S中，V1到V1、V2、V3的距离保持不变；V1到V4的，因为增加了V6，所以多出来一条V1-V3-V6-V4，距离是22，比之前的24小，进行更新，所以V4的上一个结点变成V6；然后V1到V5，多增加路线V1-V3-V6-V5，总体距离变成30，比之前的35要小，更新表格，V5的上一个结点变成V6，跟新后的表格：

在这里插入图片描述

从数组V中取出距离最短的值V4放入数组S中，此时，V1到V1、V2、V3、V4的距离保持不变，V1-V5的距离多了一条V1-V3-V6-V4-V5，路径从29比以前的30要短，更新表格，所以V5的上一个结点的V4，V1-V6保持不变，更新后表格如下：

在这里插入图片描述
将最后一个点V5添加到数组S中，V5没有到其他点的新路径，所以dist[]和path[]数组不变。

如果想要知道V1到V6的距离：

先看path[],V6的上一个结点时V3，V3的上一个结点是V1，所以V1到V6的路径是V1-V3-V6；由dist[]数组得知距离权重是20；

如果想要知道V1到V5的距离：

先看path[],V5的上一个结点时V4，V4的上一个结点时V6，V6的上一个结点时V3，V3的上一个结点是V1，所以V1到V5的路径是V1-V3-V6-V4-V5；由dist[]数组得知距离权重是29；

其他的以此类推；

二、算法基本步骤

初始化：

创建一个最短路径信息数组shortPath[x][3]，每一个一维数组含义为当前结点、该节点到此节点的最短路径、起始节点。
初始化shortPath数组，shortPath[x][0]当前节点编号、shortPath[x][1]最短路径、shortPath[x][2]起始结点编号
初始化优先队列，将起始节点的所有邻接点加入到优先队列中，结点信息使用Ownership类，属性值{time、nodeIndex、weight}。
创建优先队列，优先队列按照结点的权重值优先出队 PriorityQueue。
创建优先队列的比较器OwnershipCustomerComparator类，通过weight大小进行优先出队。

流程：

优先队列为空则退出
遍历优先队列，将队列中time版本对应的结点信息值写入shortPath中。每次拿到最新路径长度newWeight=matrix[up - 1][ownership.nodeIndex] + shortPath[up - 1][1]（起始节点最短路径+起始节点到当前节点一条边的权重），如果当前结点未被初始化则直接将newWeight写入shortPath数组中，如果当前节点已经被写过最短路径，则直接略过当前newWeight即可，这里有一个dtx变量，记录当前优先队列中结点是否被写如果shortPath，用于time（版本）。
遍历优先队列（需要出队），将权重最小的结点出队，将该节点下的所有邻接点拿出做以下操作步骤：
- 需要是出对节点的邻接点
- 邻接点在shortPath表中的最短路径未被初始化（还是无穷大），将结点信息写入，最短路径为出对节点权重+出对节点到达该邻接点的权重
- 查看该邻接点是否出现在优先队列中。在优先队列中则更新shortPath数组以及优先队列中该结点的权重以及起始节点的信息。
- 优先队列中没有，Math.min(newWeight, shortPath[i][1])，取最优路径写入

三、java代码

代码地址：GitHub

算法代码：

public class Dijkstra {
    private Queue visited;
    int[] distance;

    public Dijkstra(int len) {
        // TODO Auto-generated constructor stub
        visited = new LinkedList();
        distance = new int[len];

    }

    private int getIndex(Queue q, int[] dis) {
        int k = -1;
        int min_num = Integer.MAX_VALUE;
        for (int i = 0; i < dis.length; i++) {
            if (!q.contains(i)) {
                if (dis[i] < min_num) {
                    min_num = dis[i];
                    k = i;
                }
            }
        }
        return k;
    }

    public void dijkstra(int[][] weight, Object[] str, int v) {
        HashMap path;
        path = new HashMap();
        for (int i = 0; i < str.length; i++)
            path.put(i, "");

        //初始化路径长度数组distance
        for (int i = 0; i < str.length; i++) {
            path.put(i, path.get(i) + "" + str[v]);
            if (i == v)
                distance[i] = 0;
            else if (weight[v][i] != -1) {
                distance[i] = weight[v][i];
                path.put(i, path.get(i) + "-->" + str[i]);
            } else
                distance[i] = Integer.MAX_VALUE;
        }
        visited.add(v);
        while (visited.size() < str.length) {
            int k = getIndex(visited, distance);//获取未访问点中距离源点最近的点
            visited.add(k);
            if (k != -1) {

                for (int j = 0; j < str.length; j++) {
                    //判断k点能够直接到达的点
                    if (weight[k][j] != -1) {
                        //通过遍历各点，比较是否有比当前更短的路径，有的话，则更新distance，并更新path。
                        if (distance[j] > distance[k] + weight[k][j]) {
                            distance[j] = distance[k] + weight[k][j];
                            path.put(j, path.get(k) + "-->" + str[j]);
                        }
                    }

                }
            }
        }
        for (int h = 0; h < str.length; h++) {
            System.out.printf(str[v] + "-->" + str[h] + ":" + distance[h] + " ");
            if (distance[h] == Integer.MAX_VALUE)
                System.out.print(str[v] + "-->" + str[h] + "之间没有可通行路径");
            else
                System.out.print(str[v] + "-" + str[h] + "之间有最短路径，具体路径为：" + path.get(h).toString());
            System.out.println();
        }
        visited.clear();

    }
}

测试代码：

public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int[][] weight = {
                {0, 10, 12, -1, -1, -1},
                {-1, 0, -1, 16, 25, -1},
                {4, 3, 0, 12, -1, 8},
                {-1, -1, -1, 0, 7, -1},
                {-1, -1, -1, -1, 0, -1},
                {-1, -1, -1, 2, -1, 0}};
        String[] str = {"V1", "V2", "V3", "V4", "V5", "V6"};
        int len = str.length;
        Dijkstra dijkstra = new Dijkstra(len);
        //依次让各点当源点，并调用dijkstra函数
        for (int i = 0; i < str.length; i++) {
            dijkstra.dijkstra(weight, str, i);
        }
    }

测试结果：
在这里插入图片描述

四、拓展（无向图的Dijkstra算法）

有向图问题解决了，无向图道理和有向图类似，例如如下的无向图，找出V1到其他个点的最短路径

在这里插入图片描述
我们只需要在Test类中定义一个无向图数组

int[][] undirected_weight = {
        {0,3,-1,7,-1},
        {3,0,4,2,-1},
        {-1,4,0,5,4},
        {7,2,5,0,6},
        {-1,-1,4,6,0}};
String[] str = {"V1", "V2", "V3", "V4", "V5"};