【2024.3.26练习】画中漂流

news2024/9/22 17:24:38

题目描述

题目分析

根据题型分析应该可以用动态规划解决。设 $dp[i][j][k]$ 为第 $i$ 秒，剩余体力值为 $j$ ，且当前位置距离峡谷 $k$ 米时的总方案数。根据题意，状态转移方程如下：

$dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k+1]+dp[i-1][j+1][k-1]$

这样定义状态的话空间复杂度为 $S(T^3)$ ，大大超出了空间限制。观察转移方程左边变量是 $i$ ，右边都是 $i-1$ ，这样就可以反复覆盖 $i$ ，将空间复杂度降低至 $S(T^2)$ 。

尽管如此，但时间复杂度依然超出了限制。

仔细思考后发现，当前位置距峡谷的位置能直接计算出来： $f(i,j) = D -i +2(M-j)$ ，

因此简化状态，设 $dp[i][j]$ 为第 $i$ 秒，剩余体力值为 $j$ 时的总方案数，状态转移方程如下：
$dp[i][j]= dp[i-1][j]+dp[i-1][j+1] \ \ \ (f(i,j)> 0)$

$dp[i][j]= 0 \ \ \ (f(i,j)\leqslant 0)$

建立初始状态：

$dp[1][j] = 1 \ \ (j=M\cup j = M-1)\cap f(1,j)>0$

$dp[1][j] = 0 \ \ (j\neq M\cap j\neq M-1)\cup f(1.j)\leqslant 0$

这就是该题与李白打酒加强版的区别。虽然变量很多，但是有一项变量能通过其他变量数学运算出来，因此只需用二维数组存储即可。

我的代码

注意这种需要对答案取模的问题，防止溢出每一步都要取模，否则很容易WA。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int max_n = 3002;
ll dp[max_n][max_n];
int d;
int t;
int m;
int main(){
	//初始化
	int i; 
	int j;
	cin >> d >> t >> m;
	for(i = 0;i <= m;i++){
		if((d - 1 + 2 * (m - i) > 0) && (i == m||i == m - 1)){
		dp[1][i] = 1;
		}else{
		dp[1][i] = 0;	
		}
	}
	//动态规划
	for(i = 2;i <= t;i++){
		for(j = 0;j <= m;j++){
			if(d - i + 2 * (m - j) > 0){
				dp[i][j]= dp[i-1][j]%1000000007+dp[i-1][j+1]%1000000007;
				dp[i][j] = dp[i][j]%1000000007;

			}else{
				dp[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	//获得答案
	int ans =  dp[t][0];
	cout<<ans;
	return 0;
}

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