发现宝藏

前些天发现了一个巨牛的人工智能学习网站，通俗易懂，风趣幽默，忍不住分享一下给大家。【宝藏入口】。

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第十三届蓝桥杯大赛软件赛省赛 Java A 组

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【考生须知】

考试开始后, 选手首先下载题目, 并使用考场现场公布的解压密码解压试题。

考试时间为 4 小时。考试期间选手可浏览自己已经提交的答案, 被浏览的答案允许拷贝。时间截止后，将无法继续提交或浏览答案。

对同一题目, 选手可多次提交答案, 以最后一次提交的答案为准。

选手必须通过浏览器方式提交自己的答案。选手在其它位置的作答或其它方式提交的答案无效。

试题包含 “结果填空” 和 “程序设计” 两种题型。

结果填空题: 要求选手根据题目描述直接填写结果。求解方式不限。不要求源代码。把结果填空的答案直接通过网页提交即可, 不要书写多余的内容。

程序设计题: 要求选手设计的程序对于给定的输入能给出正确的输出结果。考生的程序只有能运行出正确结果才有机会得分。

注意: 在评卷时使用的输入数据与试卷中给出的示例数据可能是不同的。选手的程序必须是通用的, 不能只对试卷中给定的数据有效。

所有源码必须在同一文件中。调试通过后，拷贝提交。

注意: 不要使用 package 语句。

注意：选手代码的主类名必须为: Main, 否则会被判为无效代码。

注意: 如果程序中引用了类库, 在提交时必须将 import 语句与程序的其他部分同时提交。只允许使用 Java 自带的类库。

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试题 A: 裁纸刀

本题总分: 5 分

【问题描述】

小蓝有一个裁纸刀, 每次可以将一张纸沿一条直线裁成两半。

小蓝用一张纸打印出两行三列共 6 个二维码, 至少使用九次截出来, 下图给出了一种裁法。

在上面的例子中, 小蓝的打印机没办法打印到边缘, 所以边缘至少要裁 4 次。另外, 小蓝每次只能截一张纸, 不能重叠或者拼起来栽。

如果小蓝要用一张纸打印出 20 行 22 列共 440 个二维码, 他至少需要截多少次?

【答案提交】

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。

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试题 B: 寻找整数

本题总分: 5 分

【问题描述】

有一个不超过 $10^{17}$ 的正整数 $n$, 知道这个数除以 2 至 49 后的余数如下表所示, 求这个正整数最小是多少。

$a$	$n\mathrm{mod}a$	$a$	$n\mathrm{mod}a$	$a$	$n\mathrm{mod}a$	$a$	$n\mathrm{mod}a$
2	1	14	11	26	23	38	37
3	2	15	14	27	20	39	23
4	1	16	9	28	25	40	9
5	4	17	0	29	16	41	1
6	5	18	11	30	29	42	11
7	4	19	18	31	27	43	11
8	1	20	9	32	25	44	33
9	2	21	11	33	11	45	29
10	9	22	11	34	17	46	15
11	0	23	15	35	4	47	5
12	5	24	17	36	29	48	41
13	10	25	9	37	22	49	46

【答案提交】

这是一道结果填空的题, 你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数, 在提交答案时只填写这个整数, 填写多余的内容将无法得分。

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试题 $\mathrm{C}:$ 求和

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$

本题总分：10 分

【问题描述】

给定 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$, 求它们两两相乘再相加的和, 即

$S=a_1\cdot a_2+a_1\cdot a_3+\cdots +a_1\cdot a_n+a_2\cdot a_3+\cdots +a_{n-2}\cdot a_{n-1}+a_{n-2}\cdot a_n+a_{n-1}\cdot a_n\cdot$

【输入格式】

输入的第一行包含一个整数 $n$ 。

第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots a_n$ 。

【输出格式】

输出一个整数 $S$, 表示所求的和。请使用合适的数据类型进行运算。

【样例输入】

$\begin{array}{l}4\end{array}$

$\begin{array}{llll}1& 3& 6& 9\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}117\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $30\%$ 的数据, $1\le n\le 1000,1\le a_i\le 100$ 。

对于所有评测用例, $1\le n\le 200000,1\le a_i\le 1000$ 。

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试题 D: GCD

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分: 10 分

【问题描述】

给定两个不同的正整数 $a,b$, 求一个正整数 $k$ 使得 $\gcd (a+k,b+k)$ 尽可能大, 其中 $\gcd (a,b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数, 如果存在多个 $k$, 请输出所有满足条件的 $k$ 中最小的那个。

【输入格式】

输入一行包含两个正整数 $a,b$, 用一个空格分隔。

【输出格式】

输出一行包含一个正整数 $k$ 。

【样例输入】

$\begin{array}{ll}5& 7\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}1\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $20\%$ 的评测用例, $a<b\le 10^5$;

对于 $40\%$ 的评测用例, $a<b\le 10^9$ ；

对于所有评测用例, $1\le a<b\le 10^{18}$ 。

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试题 E: 蜂巢

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分: 15 分

【问题描述】

蜂巢由大量的六边形拼接而成, 定义蜂巢中的方向为: 0 表示正西方向, 1 表示西偏北 $60^{\circ },2$ 表示东偏北 $60^{\circ },3$ 表示正东, 4 表示东偏南 $60^{\circ },5$ 表示西偏南 $60^{\circ }$ 。

对于给定的一点 $O$, 我们以 $O$ 为原点定义坐标系, 如果一个点 $A$ 由 $O$ 点先向 $d$ 方向走 $p$ 步再向 $(d+2)\mathrm{mod}6$ 方向 ( $d$ 的顺时针 $120^{\circ }$ 方向) 走 $q$ 步到达, 则这个点的坐标定义为 $(d,p,q)$ 。在蜂窝中, 一个点的坐标可能有多种。

下图给出了点 $B(0,5,3)$ 和点 $C(2,3,2)$ 的示意。

给定点 $\left(d_1,p_1,q_1\right)$ 和点 $\left(d_2,p_2,q_2\right)$, 请问他们之间最少走多少步可以到达?

【输入格式】

输入一行包含 6 个整数 $d_1,p_1,q_1,d_2,p_2,q_2$ 表示两个点的坐标, 相邻两个整数之间使用一个空格分隔。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示两点之间最少走多少步可以到达。

【样例输入】

$\begin{array}{llllll}0& 5& 3& 2& 3& 2\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}7\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $25\%$ 的评测用例, $p_1,p_2\le 10^3$;

对于 $50\%$ 的评测用例, $p_1,p_2\le 10^5$;

对于 $75\%$ 的评测用例, $p_1,p_2\le 10^7$;

对于所有评测用例, $0\le d_1,d_2\le 5,0\le q_1<p_1\le 10^9,0\le q_2<p_2\le 10^9$ 。

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试题 $\mathrm{F}:$ 全排列的价值

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分: 15 分

【问题描述】

对于一个排列 $A=\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$, 定义价值 $c_i$ 为 $a_1$ 至 $a_{i-1}$ 中小于 $a_i$ 的数的个数, 即 c i = ∣ { a j ∣ j < i , a j < a i } ∣ c_i=\left|\left\{a_j \mid j<i, a_j<a_i\right\}\right| ci​=∣{aj​∣j<i,aj​<ai​}∣ 。定义 $A$ 的价值为 ${\sum }_{i=1}^n{c}_i$ 。

给定 $n$, 求 1 至 $n$ 的全排列中所有排列的价值之和。

【输入格式】

输入一行包含一个整数 $n$ 。

【输出格式】

输出一行包含一个整数表示答案, 由于所有排列的价值之和可能很大, 请输出这个数除以 998244353 的余数。

【样例输入 1】

$\begin{array}{l}3\end{array}$

【样例输出 1】

$\begin{array}{l}9\end{array}$

【样例输入 2】

$\begin{array}{l}2022\end{array}$

【样例输出 2】

$\begin{array}{l}593300958\end{array}$

【样例说明】

1 至 3 构成的所有排列的价值如下:

$(1,2,3):0+1+2=3$;

$(1,3,2):0+1+1=2$;

$(2,1,3):0+0+2=2$;

$(2,3,1):0+1+0=1$;

$(3,1,2):0+0+1=1$;

$(3,2,1):0+0+0=0$;

故总和为 $3+2+2+1+1=9$ 。

【评测用例规模与约定】

对于 $40\%$ 的评测用例, $n\le 20$ ；

对于 $70\%$ 的评测用例, $n\le 5000$ ;

对于所有评测用例, $2\le n\le 10^6$ 。

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试题 G: 青蛙过河

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分: 20 分

【问题描述】

小青蛙住在一条河边, 它想到河对岸的学校去学习。小青蛙打算经过河里的石头跳到对岸。

河里的石头排成了一条直线, 小青蛙每次跳跃必须落在一块石头或者岸上。不过, 每块石头有一个高度, 每次小肖蛙从一块石头起跳, 这块石头的高度就会下降 1, 当石头的高度下降到 0 时小青蛙不能再跳到这块石头上（某次跳跃后使石头高度下降到 0 是允许的)。

小青蛙一共需要去学校上 $x$ 天课, 所以它需要往返 $2x$ 次。当小青蛙具有一个跳跃能力 $y$ 时, 它能跳不超过 $y$ 的距离。

请问小青蛙的跳跃能力至少是多少才能用这些石头上完 $x$ 次课。

【输入格式】

输入的第一行包含两个整数 $n,x$, 分别表示河的宽度和小青蛙需要去学校的天数。请注意 $2x$ 才是实际过河的次数。

第二行包含 $n-1$ 个非负整数 $H_1,H_2,\cdots ,H_{n-1}$, 其中 $H_i>0$ 表示在河中与小青蛙的家相距 $i$ 的地方有一块高度为 $H_i$ 的石头, $H_i=0$ 表示这个位置没有石头。

【输出格式】

输出一行, 包含一个整数, 表示小青蛙需要的最低跳跃能力。

【样例输入】

$\begin{array}{ll}5& 1\end{array}$

$\begin{array}{llll}1& 0& 1& 0\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}4\end{array}$

【样例解释】

由于只有两块高度为 1 的石头, 所以往返只能各用一块。第 1 块石头和对岸的距离为 4 , 如果小青蛙的跳跃能力为 3 则无法满足要求。所以小青蛙最少需要 4 的跳跃能力。

【评测用例规模与约定】

对于 $30\%$ 的评测用例, $n\le 100$ ；

对于 $60\%$ 的评测用例, $n\le 1000$;

对于所有评测用例, $1\le n\le 10^5,1\le x\le 10^9,1\le H_i\le 10^4$ 。

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试题 $\mathrm{H}$ : 因数平方和

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: 512.0MB 本题总分: 20 分

【问题描述】

记 $f(x)$ 为 $x$ 的所有因数的平方的和。例如: $f(12)=1^2+2^2+3^2+4^2+6^2+$ $12^2$ 。

定义 $g(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$ 。给定 $n$, 求 $g(n)$ 除以 $10^9+7$ 的余数。

【输入格式】

输入一行包含一个正整数 $n$ 。

【输出格式】

输出一个整数表示答案 $g(n)$ 除以 $10^9+7$ 的余数。

【样例输入】

$\begin{array}{l}100000\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}680584257\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $20\%$ 的评测用例, $n\le 10^5$ 。

对于 $30\%$ 的评测用例, $n\le 10^7$ 。

对于所有评测用例, $1\le n\le 10^9$ 。

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试题 I: 最优清零方案

时间限制: $3.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分: 25 分

【问题描述】

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A_1,A_2,\cdots ,A_N$ 。现在小蓝想通过若干次操作将这个数列中每个数字清零。

每次操作小蓝可以选择以下两种之一:

1. 选择一个大于 0 的整数, 将它减去 1 ;
2. 选择连续 $K$ 个大于 0 的整数, 将它们各减去 1 。

小蓝最少经过几次操作可以将整个数列清零?

【输入格式】

输入第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ 。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_1,A_2,\cdots ,A_N$ 。

【输出格式】

输出一个整数表示答案。

【样例输入】

$\begin{array}{ll}4& 2\end{array}$

$\begin{array}{llll}1& 2& 3& 4\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}6\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $20\%$ 的评测用例, $1\le K\le N\le 10$ 。

对于 $40\%$ 的评测用例, $1\le K\le N\le 100$ 。

对于 $50\%$ 的评测用例, $1\le K\le N\le 1000$ 。

对于 $60\%$ 的评测用例, $1\le K\le N\le 10000$ 。

对于 $70\%$ 的评测用例, $1\le K\le N\le 100000$ 。

对于所有评测用例, $1\le K\le N\le 1000000,0\le A_i\le 1000000$ 。

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试题 $\mathrm{J}:$ 推导部分和

时间限制: $1.0\mathrm{s}$ 内存限制: $512.0\mathrm{MB}$ 本题总分: 25 分

【问题描述】

对于一个长度为 $N$ 的整数数列 $A_1,A_2,\cdots A_N$, 小蓝想知道下标 $l$ 到 $r$ 的部分和 ${\sum }_{i=l}^r=A_l+A_{l+1}+\cdots +A_r$ 是多少?

然而, 小蓝并不知道数列中每个数的值是多少, 他只知道它的 $M$ 个部分和的值。其中第 $i$ 个部分和是下标 $l_i$ 到 $r_i$ 的部分和 ${\sum }_{j=l_i}^{r_i}=A_{l_i}+A_{l_i+1}+\cdots +A_{r_i}$,值是 $S_i$ 。

【输入格式】

第一行包含 3 个整数 $N、M$ 和 $Q$ 。分别代表数组长度、已知的部分和数量和询问的部分和数量。

接下来 $M$ 行, 每行包含 3 个整数 $l_i,r_i,S_i$ 。

接下来 $Q$ 行, 每行包含 2 个整数 $l$ 和 $r$, 代表一个小蓝想知道的部分和。

【输出格式】

对于每个询问, 输出一行包含一个整数表示答案。如果答案无法确定, 输出 UNKNOWN。

【样例输入】

$\begin{array}{lll}5& 3& 3\end{array}$

$\begin{array}{lll}1& 5& 15\end{array}$

$\begin{array}{lll}4& 5& 9\end{array}$

$\begin{array}{lll}2& 3& 5\end{array}$

$\begin{array}{ll}1& 5\end{array}$

$\begin{array}{ll}1& 3\end{array}$

$\begin{array}{ll}1& 2\end{array}$

【样例输出】

$\begin{array}{l}15\end{array}$

$\begin{array}{l}6\end{array}$

【评测用例规模与约定】

对于 $10\%$ 的评测用例, $1\le N,M,Q\le 10,-100\le S_i\le 100$ 。

对于 $20\%$ 的评测用例, $1\le N,M,Q\le 20,-1000\le S_i\le 1000$ 。

对于 $30\%$ 的评测用例, $1\le N,M,Q\le 50,-10000\le S_i\le 10000$ 。

对于 $40\%$ 的评测用例, $1\le N,M,Q\le 1000,-10^6\le S_i\le 10^6$ 。

对于 $60\%$ 的评测用例, $1\le N,M,Q\le 10000,-10^9\le S_i\le 10^9$ 。

对于所有评测用例, $1\le N,M,Q\le 10^5,-10^{12}\le S_i\le 10^{12},1\le l_i\le r_i\le N$, $1\le l\le r\le N$ 。数据保证没有矛盾。