反补码运算之 “1 - 1 = - 1 ” ？

news2025/1/12 1:02:08

我们在研究数据的二进制表示时遇到这样一个问题：

由于计算中的CPU只有加法器，没有减法器，所以在计算机采用原码做减法时对于：1 - 1 = 0 相当于1 + （-1），用二进制表示为：0001+1001=1001。而1001是二进制的 -1。这明显是不对的，但是计算机又是出入处理的呢？

计算机在处理减法的时候，引入了补码这一概念。许多人接触补码，仅是被告知是“正数不变，负数取反加一”，而对于为什么需要这么做，以及补码本身的存在意义并不清楚。而网上关于补码的解释比较散，故在此写一篇文章记录，希望其他人少走弯路。这篇文章的目的，则是从补码被发明的缘由说起，从根源上：

        1）彻底梳理补码形成的过程，说明补码需要解决的问题
        2）归纳补码的实质
        3）解释补码用于数学运算的正确性
        4）解释求补码（负数除符号位以外，按位取反加一）这一操作的可靠性
        5）推导补码加减法的运算公式

一、摈弃错误观念

        如果你对补码有以下误解，请从现在起忘记这些错误观点的存在：
                1)补码是让正数变负数，负数变正数
                2)补码是原码数与模互补的数

除了上面的错误观点以外，下面还有几点需要提醒，以免先入为主：

1)不要把补码与“对模求补”的操作直接关联，只需要把补码看成一种全新构造的二进制编码，不需要过度关注补字
2)补码的最高位是符号位，但它不是无依据地定义的，后面会解释补码最高位可以代表正负的原因

一、补码的形成

在计算机的硬件结构中，实现加法器比实现减法器简单的多。人们希望的是构造出一套 “用加法代替减法” 的运算逻辑，构造的结果也就是现在我们所使用的“补码”。

最初的探索
        缘起于日常生活的现象，时钟的顺拨与倒拨均可以达到同一钟点。十二小时制中，分针由8点拨到6点，有两种方式：
        1）逆时针拨2小时：8-2=6时
        2）顺时针拨10小时：8+10=6时

第二种方式本来应该为18时，但由于时钟是十二小时制计时，产生了溢出，显示的是18-12=6时。而这种形式，则是用加法代替了第一种形式的减法，这正是我们想要的，于是对于“以加代减”的逻辑，有了最初的构造：

时钟超出显示上限，则只显示余下的钟点，这恰好是模数加法运算的体现：在模12的情况下（或者说对12取余），以下式子是等价的：

(8−2)mod12=(8+10)mod12=6

按照这个思路，我们在模范围内，也许可以将“X－Y”的减法变更为“X＋Y的补数”的加法。

注：所谓m的补数就是：(模-m)的值，如2的补数是12-2=10

二、模数加法的局限

模数加法代替减法是一个很好的思路，但它并不是完美的。上面提及到的情况，事实上只是 “大减小” 的情况，如果出现 “小减大” 情况就出现矛盾了：
举个例子：
在模100的情况下，套用上面的模数加法公式企图代替减法：

(10−30)mod100=−20
( 10 + ( 100 − 30 ) ) mod100 = 80

这和说好的不一样啊，80显然不等于-20，而且也没有因为超越模数而引起取余运算。然而先贤们并不打算前功尽弃……

三、负数的表示法

他们为了继续使用模数加法代替减法，他们做了一个大胆而又粗暴的定义：让80等于-20，即用80代表-20

根据这个规律，推广到一般的情况就是：

负数的表示方式就是它绝对值的补数——规则①

这样做有两个好处：

1）消除了“小减大”情况下的歧义，使得该情况也可用模数加法代替减法。
2）此定义同样可以解释“大减小”的情况，因为它同样吻合将“X－Y”的减法变更为“X＋Y的补数” 的说法（视 -Y 作负数，则它的表示为Y的补数）。

这样做后，无论是“大减小”或是“小减大”，模数加法代替减法都已可适用，可以说已经形成了一套较为通用的以加代减体系。

该负数表示法的结果与缺点
但是注意到，像80这样的大数，失去了自己的意义，在模100的情况下，无法再表示80了。更一般地，因为我们希望正负数尽量成对出现，而且打算用正数表示负数，这意味着在模100的非负数之间，需要划分一半正数用于表示负数，结合规则①的负数表示方式，最终满足这一系列条件的结果是：
在模100条件下：0 ~ 49表示正数本身； 50 ~ 99表示各自补数的负值（如98代表-2）

更一般地：模n情况下，0 ~ n/2 -1表示本身，n/2 ~ n-1表示各自补数的负值——规则②