蚁群算法实现 - 全局路径规划算法

参考博客：
（1）【人工智能】蚁群算法(密恐勿入)
（2）计算智能——蚁群算法
（3）蚁群算法(实例帮助理解)
（4）【数之道 04】解决最优路径问题的妙招-蚁群ACO算法
（5）路径规划与轨迹跟踪系列算法学习_第2讲_蚁群算法

1 蚁群算法讲解

基本原理：模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，广泛应用于优化问题的求解。将一群蚂蚁放在问题的解空间上，让它们通过信息素的传递和挥发，逐渐找到最优解
模拟蚂蚁在简单地形，寻找食物
① 在蚁群算法的初始阶段，我们在地图上不放置任何食物，因为蚂蚁需要在没有任何信息素的情况下开始摸索前进。一开始，蚂蚁们在洞外随机移动，试图找到食物的位置。每只蚂蚁的速度相同，它们会按照随机的方向前进，直到遇到障碍物或者到达了边界。此时，它们会再次随机选择一个方向，并继续前进。这个过程会持续进行
在这里插入图片描述
② 当蚂蚁们找到了食物后，它们会将一些信息素沿着它们的路径释放出来，并且在回到蚁巢的路上也会释放信息素。

蚁群之间的规则：

蚂蚁发现食物并将其带回巢穴时，通常会遵循已经标记的路径返回，即原路返回。在返回过程中，蚂蚁会释放归巢素和信息素，这些化学物质可以吸引其他蚂蚁跟随它的路径前往食物源。如果路径上有较多的归巢素或信息素，则越来越多的蚂蚁将会选择这条路径前往食物。

③ 当蚂蚁们回到巢穴时，它们会在原来的路径上释放更多信息素，增强这条路径的吸引力，并且尝试着寻找更短的路径。蚂蚁们会在路径上选择合适的地方停下来，释放信息素，然后返回巢穴。这个过程将持续进行，直到蚂蚁们找到了最优路径。信息素会随着时间的推移而逐渐挥发。

随着时间的推移，蚂蚁终会找到最优路径。有点类似快速搜索随机树算法。
在这里插入图片描述
蚁群算法在复杂地形的应用：

蚁群优化算法最初用于解决TSP问题，经过多年的发展，已经陆续渗透到其他领域中，比如图着色问题、大规模集成电路设计、通讯网络中的路由问题以及负载平衡问题、车辆调度问题等。蚁群算法在若干领域己获得成功的应用，其中最成功的是在组合优化问题中的应用

如果读者还是不理解，请看下面这个例子：
在这里插入图片描述

假设1号蚂蚁和2号蚂蚁速度相同，释放的信息素浓度相同，▲ACB为等腰三角形。当1号蚂蚁从A走到C的时候，2号蚂蚁已经走到了食物B。此时AC和AB信息素浓度相同。然后2号蚂蚁找到食物返回，1号蚂蚁从C走到B。此时AB信息素浓度是BC的两倍，当1号蚂蚁想返回到A点，不会沿BCA返回，而是选择信息素浓度高的BA路径返回。这样持续下去，AB路径上的信息素浓度会越来越高，后面的蚂蚁都会选择AB路径来获取食物，从而找到了获取食物的最短路径。

2 算法设计

蚂蚁觅食行为本质可以概括为以下几点：
① 路径概率选择机制信息素踪迹越浓的路径,被选中的概率越大
② 信息素更新机制路径越短,路径上的信息素踪迹增长得越快
③ 协同工作机制蚂蚁个体通过信息素进行信息交流

当蚁群算法陷入局部最优解时，可以使用以下方法进行优化：

（1）增加蚂蚁的数量。增加蚂蚁的数量可以增加搜索的广度，从而有更大的可能性找到全局最优解。
（2）调整信息素挥发速度。通过适当降低信息素挥发速度，可以增加信息素在路径上的积累，从而增加蚂蚁选择该路径的概率。
（3）引入随机因素。在蚁群算法中引入随机因素，可以使蚂蚁更具有探索性，从而有可能跳出局部最优解，进而找到全局最优解。
（4）改变参数。通过改变蚁群算法中的参数，如信息素浓度、信息素挥发速度、启发式因子等，可以使算法更加灵活，从而更容易找到全局最优解。
（5）使用局部搜索算法。在蚁群算法的基础上，可以结合局部搜索算法，如模拟退火算法、遗传算法等，来寻找全局最优解。

算法步骤：

（1）初始化(各个参数): 在计算之初需要对相关的参数进行初始化，如蚂蚁数量m、信息素因子α、启发函数因子β、信息素挥发因子ρ、信息素常数Q、最大迭代次数t等等。
（2）构建解空间：将各个蚂蚁随机地放置于不同的出发点，对每个蚂蚁k（k=1，2，……，m），计算其下一个待访问的城市，直到所有蚂蚁访问完所有的城市。
（3）更新信息素：计算各个蚂蚁经过的路径长度L，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。同时，对各个城市连接路径上的信息素浓度进行更新。
（4）判断是否终止：若迭代次数小于最大迭代次数则迭代次数加一，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤二；否则终止计算，输出最优解。

在这里插入图片描述

1 初始化参数的设置：
参考博客：蚁群算法(实例帮助理解)
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2 构建路径(解空间)，将各个蚂蚁随机地置于不同的出发点，为每只蚂蚁确定当前候选道路集：
蚂蚁选择城市的概率公式如下：
$P_{i j}^{k}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\tau_{i j}^{\alpha}(t) * \eta_{i j}^{\beta}(t)}{\sum_{\mathrm{s}_{\mathrm{}\in} \text { allowed}_{k}} \tau_{i j}^{\alpha}(t) * \eta_{i j}^{\beta}(t)} & j \in \text { allowed}_{k} \\ 0 & \text { 其他 } \end{array}\right.$

i，j为起点和终点，k表示第k只蚂蚁
$\eta_{i j}(t)=1 / d_{i j}$ 为启发函数用于表示蚂蚁从i到j的能见度，其大小是两点i,j路径距离的倒数
$\tau_{ij}(t)$ 为时间t由i到j的信息素浓度
$allowed_k$ 表示蚂蚁k尚未访问过节点的集合
$\alpha$ 为信息素重要程度因子，值越大，信息素在转移中的作用越大
$\beta$ 为启发函数重要程度因子，其值越大，表示启发函数在转移中的作用越大，即蚂蚁会以较大的概率转移到距离短的城市。

在这里插入图片描述
3 更新信息素浓度:计算每个蚂蚁经过路径长度 $L_k$ ，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。同时，对各个节点连接路径上信息素浓度进行更新。

蚁群算法分为三种模型：蚁周模型、蚁量模型、蚁密模型。蚁周模型是完成一次路径循环后，蚂蚁才释放信息素，其利用的是全局信息。蚁量模型和蚁密模型蚂蚁完成一步后就更新路径上的信息素，其利用的是局部信息。
蚁周模型公式：
$\Delta \tau_{i j}^{k}=\left\{\begin{array}{l} \frac{Q}{L_{k}}, \text { 如果蚂蚁 } k \text { 经过路径城市 } \mathrm{i} \text { 到 } \mathrm{j} \\ 0, \text { 否则 } \end{array}\right.$
$Q$ 为信息素常量， $L_k$ 表示第 $k$ 只蚂蚁在本次循环中所走路径的长度。
在这里插入图片描述
4 判断是否中止:若 $i t er < i t er ma x$ ，则令 $i t er = i t er + 1$ ，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回步骤2；否则，终止计算，输出最优解

一次迭代就是指m只蚂蚁都走完所有的城市，即存在m个搜索路径。将所有路径进行比较，选择长度最短的路径，做出这一次迭代的可视化结果，更新信息素。并将当前的最短路径与过往的最短路径长度进行对比，同时迭代次数加1。然后判断当前迭代次数是否等于设置的迭代次数。如果等于则停止迭代，否则进行下一次迭代

3 代码实现

使用蚁群算法解决旅行商问题（TSP）

%% I. 清空环境变量
clear all
clc
%% II. 导入数据
% load citys_data.mat
 citys = [16.4700   96.1000
     16.4700   94.4400
     20.0900   92.5400
     22.3900   93.3700
     25.2300   97.2400
     22.0000   96.0500
     20.4700   97.0200
     17.2000   96.2900
     16.3000   97.3800
     14.0500   98.1200
     16.5300   97.3800
     21.5200   95.5900
     19.4100   97.1300
     20.0900   92.5500];
%% III. 计算城市间相互距离
n = size(citys,1); % 城市数量
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;  %如果是0会导致矩阵对角线都是0 导致启发函数无穷大 因此取个很小的值    
        end
    end    
end
 
%% IV. 初始化参数
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表,每一行代表一个蚂蚁走过的路径
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 200;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  
 
%% V. 迭代寻找最佳路径
while iter <= iter_max
     % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      citys_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);
             allow = citys_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);
end
 
%% VI. 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
%% VII. 绘图
figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...
     [citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

最短距离:29.3405
最短路径:6  12   7  13   8  11   9  10   1   2  14   3   4   5   6

运行结果：
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