【模糊集合】示例

news2024/11/17 12:54:17

【模糊集合】隶属函数、关系与运算

例1

设X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\}，\underset{\sim}A,\underset{\sim}B\in\mathcal{F}(X)

\underset{\sim}A={\frac{0.4}{x_{1}}}+{\frac{0.6}{x_{2}}}+{\frac{1}{x_{3}}}+{\frac{0.6}{x_{4}}}+{\frac{0.4}{x_{5}}},\ \underset{\sim}B={\frac{0.2}{x_{2}}}+{\frac{0.8}{x_{3}}}+{\frac{0.2}{x_{4}}}.

分别进行交、并、补运算，有：

由$X$上模糊集合的全体组成的集合称为$X$的模糊幂集，记为$\mathcal{F}(X)$，fuzzy

\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}B=\frac{0.2}{x_{2}}+\frac{0.8}{x_{3}}+\frac{0.2}{x_{4}}

\underset{\sim}A\cup \underset{\sim}B=\frac{0.4}{x_{1}}+\frac{0.6}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\frac{0.6}{x_{4}}+\frac{0.4}{x_{5}}

\underset{\sim}A^{c}=\frac{0.6}{x_{1}}+\frac{0.4}{x_{2}}+\frac{0.4}{x_{4}}+\frac{0.6}{x_{5}}

\underset{\sim}B^{c}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{0.8}{x_{2}}+\frac{0.2}{x_{3}}+\frac{0.8}{x_{4}}+\frac{1}{x_{5}}

上述为模糊集合的Zadeh记法，其中的“+”号不表示分式求和，仅作为一种记号，\frac{\mu_{\underset{\sim}{A}}(x_i)}{x_i}表示{x_i}对\underset{\sim}{A}的隶属度为{\mu_{\underset{\sim}{A}}(x_i)}

 交、并、补运算实际上是分别对隶属度取下确界、上确界和余。例如x_1对\underset{\sim}A,\underset{\sim}B的隶属度分别为0.4、0，交运算取下确界0，故x_1对\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}B的隶属度为0。

例2

设X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\}，\underset{\sim}A,\underset{\sim}B\in\mathcal{F}(X)

\underset{\sim}A={\frac{0.4}{x_{1}}}+{\frac{0.6}{x_{2}}}+{\frac{1}{x_{3}}}+{\frac{0.6}{x_{4}}}+{\frac{0.4}{x_{5}}},\ \underset{\sim}B={\frac{0.2}{x_{2}}}+{\frac{0.8}{x_{3}}}+{\frac{0.2}{x_{4}}}.

有：

(\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}B)^{c}={\frac{1}{x_{1}}}+{\frac{0.8}{x_{2}}}+{\frac{0.2}{x_{3}}}+{\frac{0.8}{x_{4}}}+{\frac{1}{x_{5}}}

(\underset{\sim}A\cup \underset{\sim}B)^{c}=\frac{0.6}{x_{1}}+\frac{0.4}{x_{2}}+\frac{0.4}{x_{4}}+\frac{0.6}{x_{5}}

\underset{\sim}A^{c}\cap \underset{\sim}B^{c}={\frac{0.6}{x_{1}}}+{\frac{0.4}{x_{2}}}+{\frac{0.4}{x_{4}}}+{\frac{0.6}{x_{5}}}

\underset{\sim}A^{c}\cup \underset{\sim}B^{c}={\frac{1}{x_{1}}}+{\frac{0.8}{x_{2}}}+{\frac{0.2}{x_{3}}}+{\frac{0.8}{x_{4}}}+{\frac{1}{x_{5}}}

例1同理

例3

设\underset{\sim}A\in\mathcal{F}(X)，则（ACD）

A.\emptyset\subseteq \underset{\sim}A\subseteq X

B.\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}A^{c}=\emptyset

C.( \underset{\sim}A^{c})^{c}= \underset{\sim}A

D.\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}A= \underset{\sim}A

以隶属度0.5为例，补0.5，故\underset{\sim}A\cap \underset{\sim}A^{c}\neq \emptyset，\underset{\sim}A\cup \underset{\sim}A^{c}\neq X

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