姿态旋转的哥氏定理以及速度微分的推导

news2025/1/17 3:00:08

姿态旋转中涉及到坐标系的转换，在有相对旋转的两个坐标系中观察一个向量的变化，用到了哥氏定理。

例如在i系中观察e系下的运动，则

哥氏定理的公式 

dr/dt|i = dr/dt|e + wie \times r   wie是e相对于i的角运动   注意符号i在前e在后。

dv/dt|i = dv/dt|e + wie \times v   wie是e相对于i的角运动   注意符号i在前e在后。

那么，回到组合中常用的n系下，推到一下n系下的速度微分方程

直接从i到n建立联系，需要先把i的求出来。

dv/dt|n = dvdt|i + wni \times v  （1）

上式中用到i系下的速度微分，那么就要再按照哥氏定理推一下dv/dt|i

分析，对速度求导，需要先知道速度，所以要对位置求导得到速度

dr/dt|i = dr/dt|e + wie \times r = v + wie \times r  （2）

得到v以后再次求导，得到（1中想要的dv/dt|i）

比力是i系下的，是已知的数据，那么用到它就是需要对上式i系下再微分求导，

dr^{2}/dt^{^{2}}{}|i = dv/dt|i + dwie /dt|i\times r + wie \times dr/dt|i   （3）

dr^{2}/dt^{^{2}}{}|i =f+g  （4）

f+g =dv/dt|i + 0 +wie\times dr/dt|i  （5）

式5的移项后，

dv/dt|i = f+g -wie\times dr/dt|i  （6）

式6中的右边 ,把（2）代入后，即可得到

dv/dt|i = f+g -wie\times v-wie\times\left ( wie\ \times r\right )

设

gp=g- wie\times\left ( wie\ \times r\right )

  dv/dt|i = f -wie\times v+gp 这是i系下的微分方程 (7)

下面再回到n下的方程（1）中，从i直接到n

(7)代入（1）

dv/dt|n = f -wie\times v-gp + wni \times v  （8）

其中wni =wne+wei = wen-wie  （9）

（9）代入（8）得到

dv/dt|n = f -wie\times v+gp +\left ( wen-wie\right )\times v

整理得到

dv/dt|n =f- \left ( 2wie+wen \right )\times v+gp    (10)这是n系下的速度微分方程。

如果想要推到e系下的

思路如下：都是要用到i系，因为牛顿第二定律就是i系下的，所以得用i

dv/dt|e = dvdt|i + wei \times v（11）

(7)代入（11）

dv/dt|e = f -wie\times v+gp+ wei \times v 

dv/dt|e = f -wie\times v+gp- wie\times v

dv/dt|e = f -2wie\times v+gp  这是e系下的速度微分（12）

快速的得到n系，则可以选择，先i系，再e系用wie和wen建立联系，然后n系

dv/dt|i = f -wie\times v+gp 这是i系下的微分方程 (7)

dv/dt|e = f -2wie\times v+gp  这是e系下的速度微分（12）

dv/dt|n = dvdt|e + wne \times v  （13）

（12）代入13得到

dv/dt|n =f- \left ( 2wie+wen \right )\times v+gp    (10)这是n系下的速度微分方程。

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