1随机事件与概率
1.1随机事件及其运算规律
1.1.1运算
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 德摩根律
1.2概率的定义及其确定方法
1.2.1概率的统计定义
频率 设在 n 次试验中，事件 A 发生了(A)次，则称
为事件 A 发生的频率。
1.2.2概率的统计定义
在一组恒定不变的条件下，将某试验重复进 行n次，随着n 增大，事件A发生的频率，总 在某一固定常数p 左右摆动，我们称这个稳定值 p 为事件A的概率, 记作 P(A). f (A)
性质：
非负性：
规范性：
可列可加性：
1.2.3确定概率的古典方法
条件：
- 试验的样本空间只包含有限个元素
- 试验中每个基本事件发生的可能性相同
古典概率的确定：
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
常用计数方法：
1.2.3.1重复组合
从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有：
1.2.3.2不全相异元素的排列
在n个元素中，有m类不同元素、每类各有k1 , k2 ,… km 个，将这n个元素作全排列，共有如下种方式：
或：
1.2.3.3环排列
从n个不同元素中，选出m个不同的元素排成一 个圆圈的排列，共有：
1.2.4古典概型基本模型
1.2.4.1无放回地摸球
设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无 放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率
解答较简单。
1.2.4.2有放回地摸球
设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率.
基本事件总数为,A 所包含基本事件的个数为:
1.2.4.3分球入盒模型(盒子容量无限)
把 4 个球放到 3个盒子中去,求第1、2个 盒子中各有两个球的概率, 其中假设每个盒子可 放任意多个球.
4个球放到3个盒子的所有放法 3*3*3*3=3^4
因此第1、2个盒子中各有两个球的概率为:
1.2.4.4分球入盒模型(每个盒子只能放一个球)
把4个球放到10个盒子中去,每个盒子只能 放一个球, 求第1 至第4个盒子各放一个球的概率.
1.2.5基本例题
（1）在7位数的电话号码中,第一位不能 为0，求数字0出现3次的概率.
首先确定首位元素有9种选择，再从6各种选出3个位置来放0，接下来3个位置可以放任意数共9^3(注意不能放0了，因为若有一个0，就变成4个0了)
（2）掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率
点数为4就3种情况，即1\1\2的全排列。
（3）设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（k<=N ）, 设 每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率.
(3.1)某指定的 k 个盒子中各有一球
(3.2)某指定的一个盒子恰有 m 个球( m<=k)
(3.3)某指定的一个盒子没有球
(3.4)恰有 k 个盒子中各有一球
(3.5)至少有两个球在同一盒子中
反面思考，至少两个的反面就是“0个或1个”在同一个球，这就是3.4的结果，所以用总样本点数减去它就可以了。
（3.6）生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率.
这里也是至少，所以也可以从反面思考。
2.概率的性质
2.1可加性
性质1：
性质2：
性质3：
2.2单调性
对任意两个事件A、B，
- P(A-B) = P(A)-P(B)
- P(A) >= P(B)
对任意两个事件A、B有
P(A-B) = P(A) -P(AB).
注意：B = AB (~A)B
P(B)=P(AB) + P(~AB)
例题：已知事件A、B的概率分别是1/3 和 1/2，p(AB)=1/8,求p(B~A)的概率。
2.3加法公式
例题1：设A、B、C是三个事件，且p(A)=p(B)=p(C)=1/4，P(AB)=0,P(BC)=P(AC)=1/12,求A、B、C中至少有一个发生的概率。
注意此时还能用1-概率吗？不能，因为P(BC)=P(AC)=1/12这几个概率有交集，并不互斥。
例题2：设A , B满足 P ( A ) = 0.8, P ( B ) = 0.7,在P(AB)为多少的概率下，P(AB)取最大值，最大值是多少？
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),=1.5-P(A
B),需要P(A
B)取最小值时，P(AB)取最大值，注意P(A
B)一定大于0.5,因为P(A
B)>=max{P(A),P(B)},所以P(A
B)=0.8时，P(AB)最大。
3.条件概率
3.1定义和基础
设A、B为两事件, P ( B ) > 0 , 则称P(AB)/P(B)为事件 B 发生的条件下事 件 A 发生的条件概率，记为
性质:
非负性: P(A|B)>=0
规范性： 
可列可加性：
例题：
（1）某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少?
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件，B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件。
则：
P(AB)=P(B)=0.4;
（2）从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2 张, 设发现2张钞票中至少有一张钞票是假钞， 则2 张都是假钞的概率为：
解：由题知要求在有一张假钞的前提下，另一张也为假钞的概率，设A：其中至少有一张是假钞，B：两张都是假钞。（这里为什么A不能是其中一张是假钞呢？因为如果一张假钞一张真钞，那么两张都是假钞概率为0）
P(AB)=P(B)=
P(A)=,（注意这个是错误的，因为，有可能两次都选到的是假钞，但是同时选了两遍，比正常要多）。
P(A)=
3.2乘法公式
设 P(A) > 0, 则有
设 A,B,C 为事件,且 P(AB) > 0, 则有
例题：
盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求
（1）取两次，两次都取得一等品的概率;
（2）取两次，第二次取得一等品的概率;
（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;
（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率。
解：令 为第 i 次取到一等品
(1):
(2):
(3):
(4):
3.3全概率公式
3.3.1样本空间的划分(完备事件组）
3.3.2
3.4贝叶斯（Bayes)公式
4.独立性
4.1两个事件相互独立
若A、B两个事件独立，那么P(A|B) = P(A)，即
P(AB) = P(A)*P(B)。
性质：（1）若事件 A 、B相互独立，则~A与B、A与~B、~A与~B也相互独立。
（2）必然事件和不可能事件，与任何事件都是相互独立的
（3）注意：独立只是“概率意义独立”，并不代表二者互斥。
若P(A)>0 、P(B)>0:
| A与B独立-> | A与B不互斥（A、B相容） |
| A与B互斥-> | A与B不独立 |
即在两者概率都大于0的情况下，互斥和独立是“负相关”的
4.2多个事件独立
注意：上面定义若取定n=3。则2 <= k <= 3。
k取2时：
这是从3个(n个)中选出2个进行组合。
k取3时：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。从3个(n个)中选出三个。
