文章目录
- 1.树的概念
- 1.1树的相关概念
- 1.2树的表示
- 2.二叉树
- 2.1概念
- 2.2特殊二叉树
- 2.3二叉树的存储
- 3.堆
- 3.1堆的插入（向上调整）
- 3.2堆的删除（向下调整）
- 3.3堆的创建
- 3.3.1使用向上调整
- 3.3.2使用向下调整
- 3.3.3两种建堆方式的比较
- 3.4堆排序
- 3.5TopK问题
1.树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。如下图：
有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。例如A节点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
例如：B节点又可以分成一棵树，该树只有根，没有子树。
D节点可以分为根节点和子树。D为根节点，只有一棵子树H。
因此树可以拆分为：根和子树。 每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；所以，树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，即：树中不能有环！。例如：
1.1树的相关概念
- 节点的度：一个
节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6 - 叶节点或终端节点：
度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点 - 分支节点或非终端节点：
度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点 - 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的
子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点，H是D的孩子节点 - 兄弟节点：具有
相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点 - 树的度：一棵树中，
最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6 - 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
- 树的高度或深度：树中
节点的最大层次； 如上图：树的高度为4 - 堂兄弟节点：
双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点 - 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；P的祖先是A、E、J
- 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
- 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；
1.2树的表示
树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。所以树的结构应该怎么定义呢？
//假设树的度为6
#define N 6
struct TreeNode
{
int val;
struct TreeNode* Child[N];
};
如果这样定义的话，不管你子树有没有孩子都开辟了空间，会比较浪费。
struct TreeNode
{
int val;
struct TreeNode** Child;//使用顺序表存储孩子
int size;//当前个数
int capacity;//容量
};
既然浪费了空间，那咱们就动态申请，有几个孩子由size决定，不够就扩容，但这种结构好像也不太好。
struct TreeNode
{
int val;
struct TreeNode* leftChile;//左孩子
struct TreeNode* nextBrother;//右兄弟
};
左孩子右兄弟法：这种方法设计的非常巧妙，每个节点只记录它左边第一个孩子，其它孩子是第一个孩子的兄弟，由第一个孩子记录。这种方法好像看起来是最好的
2.二叉树
2.1概念
二叉树是从树衍生出来的。
那什么叫二叉树呢？
二叉树：首先它是一棵树，其次它每个节点最多有两个分支；并且对两个分支进行区分，分别叫做左子树和右子树。如下图
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的结点
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
2.2特殊二叉树
- 满二叉树
满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
满二叉树的前n-1层全是满的（度为2），叶子全在最后一层
如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2k-1，则这个二叉树就是满二叉树。
- 完全二叉树
完全二叉树跟满二叉树的区别是：完全二叉树的前n-1层也都是满的，最后一层不一定满，但是要求从左到右的节点连续，不能空。(没有左孩子就不能有右孩子)
2.3二叉树的存储
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
- 顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树
使用顺序存储存在一个规律：
-
leftChild = parent*2+1
- 例：C的左孩子的下标为2 * 2+1 = 5
-
rightChild = parent*2+2
- 例：C的右孩子的下标为2 * 2+2 = 6
-
parent = (Child - 1) / 2
- 例：F的父亲下标为（5-1）/ 2 = 2 G的父亲下标为（6-1）/ 2 = 2
-
有了这个规律我就不需要存储我的孩子或父亲在哪里，我使用下标算就可以了。
- 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别 用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址，链式结构又分为二叉链和三叉链， 。
该结构一般用来存储非完全二叉树，不会有空间的浪费。
3.堆
- 普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。
- 完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储
堆：
- 堆是一棵完全二叉树。
- 小堆：任何一个父亲 <= 孩子
- 大堆：任何一个父亲 >= 孩子
- 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，
根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆
使用堆这种数据结构有什么好处呢？
TopK问题（找最值），最值就在根上。
3.1堆的插入（向上调整）
假设已存在一个堆，现需向堆中插入元素5。
void Swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y)
{
HeapDataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
//while(parent >= 0)
while (child)
{
//孩子小于父亲
if (a[child] < a[parent])
{
//交换
Swap(&a[child], &a[parent]);
//改变下标
child = parent;
//继续找父亲
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{
assert(php);
//扩容
if (php->size == php->capacity)
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a, sizeof(HeapDataType)*newcapacity);
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newcapacity;
}
//将数据先插入到堆中
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//插入后向上调整，使其仍然是堆
//开始调整的位置为数组末尾位置：size-1
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
思考：如何让一个数组变成堆？
将数组的值插入堆中即可
int main()
{
Heap* heap = HeapCreate();
int arr[] = { 1,4,7,3,9,10 };
for (int i = 0; i < sizeof(arr)/sizeof(int); i++)
{
HeapPush(heap, arr[i]);
}
HeapDestroy(heap);
return 0;
}
3.2堆的删除（向下调整）
void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)//有左孩子就继续
{
//找小的孩子
//若右孩子存在 且 右孩子小于左孩子，右孩子是小孩子
if (child+1 < n && a[child+1] < a[child])
{
child++;
}
//小孩子小于父亲，交换
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{
assert(php);
assert(php->size);
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//交换
php->size--;//删除数组尾位置
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
由于向下调整法最多调整高度次，那么它的时间复杂度是O(logN)
3.3堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？
3.3.1使用向上调整
从数组的第二个元素开始，使其按照小堆/大堆的规则调整成堆
void HeapCreat(Heap* php, HeapDataType* a, int n)
{
assert(php);
php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);//申请和数组同样大的空间
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
memcpy(php->a, a, sizeof(HeapDataType) * n);//将数组中的元素拷贝进堆
php->size = n;
php->capacity = n;
//向上调整，使其成堆
for (int i = 1; i < n; i++)
{
AdjustUp(php->a, i);
}
}
3.3.2使用向下调整
用向下调整法，我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
其实本质上就是：从下往上，将根的每个子树调整成堆
由于最后一个元素的下标为n-1，所以它的父亲应该是：(其下标-1)/2，也就是(n-1-1)/2。
void HeapCreat(Heap* php, HeapDataType* a, int n)
{
assert(php);
php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);//申请和数组同样大的空间
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
memcpy(php->a, a, sizeof(HeapDataType) * n);//将数组中的元素拷贝进堆
php->size = n;
php->capacity = n;
//向下调整，使其成堆
for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(php->a, n, i);
}
}
3.3.3两种建堆方式的比较
- 树的高度与节点个数的关系
- 向上调整法建堆时间复杂度的分析
因此，向上调整建堆的时间复杂度为：O(N*log2N)
- 向下调整法建堆时间复杂度的分析
因此，向下调整建堆的时间复杂度为：O(N)
O(N*log2N) 与O(N)看来两种方法的效率差别还是挺大的。为什么差别这么大呢？
3.4堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
-
建堆
升序：建大堆
降序：建小堆 -
利用堆删除思想来进行排序
首位交换
最后一个值不看做堆里面的，向下调整选出次大的数据
#include<stdio.h>
void _Swap(int* a, int* b)
{
int tmp = *a;
*a = *b;
*b = tmp;
}
void _AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n)
{
//右孩子存在，且大于左孩子
if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
{
child++;
}
//孩子大于父亲，交换
if (a[child] > a[parent])
{
_Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;//孩子不大于父亲，调整结束
}
}
}
int main()
{
int arr[] = { 3,1,9,18,22,16 };
int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
//向下调整建堆
for (int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
_AdjustDown(arr, sz, i);
}
int end = sz - 1;
while (end > 0)
{
_Swap(&arr[0], &arr[end]);//首位交换
_AdjustDown(arr, end, 0);
end--;
}
for (int i = 0; i < sz; i++)
{
printf("%d ", arr[i]);
}
return 0;
}
所以堆排序的时间复杂度是：建堆O(N)+每个节点需要调整的次数(N-1）* logN 。 该排序的时间复杂度最终为：N*logN
3.5TopK问题
TOP-K问题：即求数据中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
- 用数据集合中前K个元素来建堆
前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆 - 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
- 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
void TopK(int k)
{
FILE* fp = fopen("data.txt", "r");
if (fp == NULL)
{
return;
}
int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (heap == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
//先读取k个数据
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(fp, "%d", &heap[i]);
}
//根据k个数据建小堆
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
_AdjustDown(heap, k, i);
}
int num = 0;
while (fscanf(fp, "%d", &num) != EOF)
{
//读取堆顶数据，比它大就替换它，进堆
if (num > heap[0])
{
heap[0] = num;
_AdjustDown(heap, k, 0);
}
}
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", heap[i]);
}
fclose(fp);
}
