【格与代数系统】格与代数系统汇总

【格与代数系统】格与哈斯图

关系

偏序关系

偏序集

可比性

全序集

最值与上下界

上下确界

格

代数系统

性质

格与代数系统的关系

分配格

有界格

有补格

布尔代数

例1

例2

对偶格

软代数

完备格

稠密性

优软代数

小结

关系

X,Y是两个非空集合, 记 $X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}.$ 若 $R\subseteq X\times Y,$ 则称R是X到Y的一个二元关系，简称关系。若 $(x,y)\in R$ ,记 $xRy$ 。

当 $R\subseteq X\times X$ 时，称 $R$ 是 $X$ 上的一个关系。

偏序关系

设 $R$ 是 $X$ 上的一个关系，若 $R$ 满足：

(1)自反性：对任意的 $x\in X$ ,有 $(x,x)\in R$ ；

(2)反对称性：若 $(x,y)\in R,(y,x)\in R$ ,则 $x=y$ ；

(3)传递性：若 $(x,y)\in R,(y,z)\in R$ , 则 $(x,z)\in R$ ；

则称 $R$ 是 $X$ 上的一个偏序关系。

偏序关系：自反性+反对称性+传递性

例： $\left \{ {8,4,2,1} \right \}$ 中，小于或等于关系，即满足偏序关系，可以有关系矩阵

偏序集

一般用符号 $\leq$ 来表示偏序关系，从而，称 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集。

偏序关系 $\rightarrow$ 偏序集

可比性

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集，对任意 $x, y\in X$ ，若 $x\leqslant y$ 与 $y\leqslant x$ 至少有一个成立，则称 $x$ 与 $y$ 可比；反之，若 $x\leqslant y$ 与 $y\leqslant x$ 都不成立，则称 $x$ 与 $y$ 不可比；

若 $x\leqslant y$ 且 $x\neq y$ ,则记 $x< y$

全序集

若对任意的 $x, y\in X$ ,都有 $x$ 与 $y$ 可比，则称 $\leq$ 是一个线性序或全序。并称 $(X,\leqslant)$ 是一个线性序集或全序集。

一个线性序集也称为一条链，偏序集的线性序的子集 (在原偏序关系下) 构成一条链。

偏序集+可比性 $\rightarrow$ 全序集

最值与上下界

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集.

若存在 $u\in X$ ,使得对任意的 $x\in X$ ,有 $x\leqslant u$ ,则称 $u$ 是 $(X,\leqslant)$ 的最大元；

若存在 $l\in X$ , 使得对任意的 $x\in X$ , 有 $l\leqslant x$ ,则称 $l$ 是 $(X,\leqslant)$ 的最小元。

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集， $A\subseteq X$ .

若存在 $\alpha\in X$ ,对任意的 $x\in A$ , 有 $x\leqslant \alpha,$ 则称 $\alpha$ 是 $A$ 的一个上界；

若存在 $\beta\in X$ ,对任意的 $x\in A$ ,有 $\beta\leqslant x$ ,则称 $\beta$ 是 $A$ 的一个下界。

上下确界

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集， $A\subseteq X$ .

若 $\alpha$ 是 $A$ 的一个上界，且对 $A$ 的任意上界 $u$ ,都有 $\alpha\leqslant u$ ,则称 $\alpha$ 是 $A$ 的最小上界或上确界，记 $\alpha=\sup\{x|x\in A\};$

若 $\beta$ 是 $A$ 的一个下界，且对 $A$ 的任意下界 $l$ ,都有 $\beta \geq l$ , 则称 $\beta$ 是 $A$ 的最大下界或下确界，记 $\beta=\inf\{x|x\in A\}$ 。

若 $A$ 的上、下确界存在，则记:

$\bigvee A=\bigvee\{x|x\in A\}=\sup A=\sup\{x|x\in A\},$

$\bigwedge A=\bigwedge\{x|x\in A\}=\operatorname*{inf}A=\operatorname*{inf}\{x|x\in A\}.$

格

设 $(X,\leqslant)$ 是一个偏序集，若对任意 $x,y\in X$ ， $\{x,y\}$ 的上、下确界都存在，则称 $(X,\leqslant)$ 是一个格，用 $(L,\leqslant)$ 表示格。

偏序关系 $\rightarrow$ 偏序集

偏序集+上下确界 $\rightarrow$ 格

代数系统

若 $(L,\leqslant)$ 是格，则由格的定义，对任意 $a, b\in L$ ， $sup\{ a, b\}$ 与 $\inf\{a,b\}$ 都存在，进而在 $L$ 上令

$\begin{aligned} \bigvee:L\times L& \rightarrow L, \\ \left(a,b\right)& \longmapsto a\bigvee b=\sup\{a,b\}, \\ \bigwedge:L\times L& \rightarrow L, \\ \left(a,b\right)& \longmapsto a\bigwedge b=\inf\{a,b\}, \end{aligned}$

L 与其这两个二元运算 $\bigvee,\bigwedge$ 构成代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ , 称为由格 $(L,\leqslant)$ 诱导的代数系统。

格+两个二元运算（取上下确界） $\rightarrow$ 代数系统

性质

设 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 是由格 $(L,\leqslant)$ 诱导的代数系统，则其上的两个二元运算满足：

幂等律： $a\bigvee a=a,a\bigwedge a=a$

交换律： $a\bigvee b=b\bigvee a,a\bigwedge b=b\bigwedge a$

结合律： $(a\bigvee b)\bigvee c=a\bigvee(b\bigvee c),(a\bigwedge b)\bigwedge c=a\bigwedge(b\bigwedge c)$

吸收律： $a\bigvee(a\bigwedge b)=a,a\bigwedge(a\bigvee b)=a$

若代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 中的两个二元运算满足交换律、结合律、吸收律，则存在一个格 $(L,\leqslant)$ ，使得其诱导的代数系统就是 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 。

格与代数系统的关系

格 $(L,\leqslant)$ 与其诱导的代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 可以看作格的两种表现形式。

格有两种等价的定义，根据需要采用：

1、一个偏序集，若其中任意两个元素的上、下确界都存在，则称之为偏序格；

2、一个具有两个二元运算的代数系统，若其上的两个运算满足交换律、结合律、吸收律，则称之为代数格。

分配格

设 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 是格，若其上的两个二元运算满足分配律，即对任意的 $a,b,c\in L$ ，

$a\bigwedge(b\bigvee c)=(a\bigwedge b)\bigvee(a\bigwedge c)\\\\a\bigvee(b\bigwedge c)=(a\bigvee b)\bigwedge(a\bigvee c)$

则称 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ 是分配格。

格+分配律 $\rightarrow$ 分配格

有界格

设 $(L,\leq )$ 是格，若 $L$ 既有最大元，又有最小元，则称 $(L,\leq )$ 是有界格。

有界：上、下界均存在

设 $(L,\leq )$ 是有界格，1和0分别表示其最大元和最小元，则对任意 $a\in L$ ,有 $0\leq a \leq 1$ ，且

$a\bigvee1=1,\quad a\bigwedge1=a,\quad a\bigvee0=a,\quad a\bigwedge0=0$

有补格

设 $(L,\leq )$ 是有界格，1和0分别表示其最大元和最小元，设 $a\in L$ ，若存在 $b\in L$ ，使得

$a\bigvee b=1,\quad a\bigwedge b=0$

则称b是a的一个补元。若 $L$ 中的每一个元素都有补元，则称 $(L,\leq )$ 是有补格。

当补元唯一时，用 $a^{c}$ 来表示 $a$ 的补元。

布尔代数

若 $(L,\leq )$ 既是有补格，又是分配格，则称 $(L,\leq )$ 是布尔代数或布尔格。

有补+分配 $\rightarrow$ 布尔代数

若 $(L,\leq )$ 是布尔代数，则 $L$ 中的每一个元素都有唯一的补元。

布尔代数中有三种运算，二元运算 $\bigvee,\bigwedge$ 和一元运算——补运算，因此布尔代数可记为 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 。

布尔代数 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 上的运算满足：

1.复原律： $(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$

2.补余律： $a\bigvee a^{\mathrm{c}}=1,a\bigwedge a^{\mathrm{c}}=0$

3.对偶律： $(a\bigvee b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigwedge b^\mathrm{c},(a\bigwedge b)^\mathrm{c}=a^\mathrm{c}\bigvee b^\mathrm{c}$

例1

由格 $(\{0,1\},\leqslant)$ 诱导的代数系统 $(\{0,1\},V,\wedge)$ ,其中

$\begin{aligned}a\bigvee b=\max\{a,b\},\quad a\bigwedge b=\min\{a,b\}.\end{aligned}$

设任意的 $a\in\{0,1\}$ , 定义 $a^c=1-a$ , 则代数系统 $(\{0,1\},\bigvee,\bigwedge,\quad^c)$ 是布尔代数.

例2

代数系统 $(\mathcal{P}(X),\bigcup,\bigcap,^c)$ 是布尔代数，且可视其为由格 $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ 诱导的代数系统，其中

$A\bigcup B=\sup\{A,B\},\quad A\bigcap B=\inf\{A,B\}.$

对偶格

设 $(L,\leqslant)$ 是格，在其上定义一种补运算，即对任意的 $a\in L$ , 存在唯一的 $a^\mathrm{c}$ 与之对应.若满足

1.复原律 $(a^{\mathrm{c}})^{\mathrm{c}}=a$
2.对偶律 $(a\bigvee b)^{\mathrm{c}}=a^{\mathrm{c}}\bigwedge b^{\mathrm{c}},(a\bigwedge b)^{\mathrm{c}}=a^{\mathrm{c}}\bigvee b^{\mathrm{c}}$ ,

则称 $(L,\leqslant)$ 是对偶格。

软代数

若 $(L,\leqslant)$ 既是有界格，又是对偶格、分配格，则称 $(L,\leqslant)$ 诱导的代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 是软代数。

布尔代数一定是软代数

完备格

设 $(L,\leqslant)$ 是格，若 $L$ 的任意非空子集的上、下确界都存在，则称 $(L,\leqslant)$ 是完全格或完备格。

完备格一定是有界格

设 $(L,\leqslant)$ 是完备格， $A,B \subseteq L$ ,则有

1. $\bigvee(A\bigcup B)=(\bigvee A)\bigvee(\bigvee B)$

2. $\bigwedge(A\bigcup B)=(\bigwedge A)\bigwedge(\bigwedge B)$

无限分配律：

完备格 $(L,\leqslant)$ ，代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge)$ ，若两个运算满足：

$\begin{aligned}a\wedge(\bigvee_{i\in I}b_i)&=\bigvee_{i\in I}(a\wedge b_i)\\a\vee(\bigwedge_{i\in I}b_i)&=\bigwedge_{i\in I}(a\bigvee b_i)\end{aligned}$

则称 $(L,\leqslant)$ 满足无限分配律

稠密性

设 $(L,\leqslant)$ 是格，若对任意 $a,b\in L,a<b$ , 都存在 $c\in L$ ,使 $a<c<b$ ,则称 $(L,\leqslant)$ 是稠密的。

任意两元间仍有一元

优软代数

若 $(L,\leqslant)$ 是稠密的对偶格，且满足完全分配律，则 $(L,\leqslant)$ 诱导的代数系统 $(L,\bigvee,\bigwedge,^{\mathrm{c}})$ 称为优软代数。

稠密+对偶+完全分配律 $\rightarrow$ 优软代数

优软代数一定是软代数

小结

偏序关系：自反性+反对称性+传递性

偏序集：满足偏序关系

可比性： $x\leqslant y$ 与 $y\leqslant x$ 至少有一个成立

全序集：偏序集+可比性

格：偏序集+上下确界

代数系统：格+两个二元运算（取上下确界）

分配格：满足分配律

有界格：有最大、最小元

有补格：每个元素都有补元

布尔代数：有补+分配

对偶格：复原律+对偶律

软代数：有界+对偶+分配

完备格：非空子集都有上下确界

稠密性：任意两元间仍有一元

优软代数：对偶+稠密+完全分配律