目录
1. GCD
1.1 性质
1.2 代码实现
2. LCM
2.1 代码实现
3. 习题
3.1 等差数列
3.2 Hankson的趣味题
3.3 最大比例
3.4 GCD
1. GCD
整数a和b的最大公约数是能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)
1.1 性质
GCD有关的题目一般会考核GCD的性质。
（1）gcd(a, b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, k·a+b)
（2）gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)
（3）多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
（4）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素
（5）gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)
1.2 代码实现
import java.math.BigInteger;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(gcd(45, 9)); // 9
System.out.println(gcd(0, 42)); // 42
System.out.println(gcd(42, 0)); // 42
System.out.println(gcd(0, 0)); // 0
System.out.println(gcd(20, 15)); // 5
System.out.println(gcd(-20, 15)); // -5
System.out.println(gcd(20, -15)); // 5
System.out.println(gcd(-20, -15)); // -5
System.out.println(gcd(new BigInteger("98938441343232"), new BigInteger("33422"))); // 2
}
public static long gcd(long a, long b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
public static BigInteger gcd(BigInteger a, BigInteger b) {
return a.gcd(b);
}
}
2. LCM
最小公倍数LCM（the Least Common Multiple）。a和b的最小公倍数lcm(a, b)，从算术基本定理推理得到。
2.1 代码实现
public static int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
public static long lcm(int a, int b) {
return (long) a / gcd(a, b) * b;
}
3. 习题
3.1 等差数列
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int num = scan.nextInt();
int arr[] = new int[num];
for(int i = 0;i<num;i++){
arr[i] = scan.nextInt();
}
Arrays.sort(arr);
int min = 0;
for(int i = 1;i<num;i++){
min = gcd(min,arr[i] - arr[i-1]);
}
if(min == 0) System.out.println(num);
else System.out.println((arr[num-1] - arr[0])/min+1);
scan.close();
}
public static int gcd(int a ,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
}这是gcd问题。把n个数据排序，计算它们的间隔，对所有间隔做GCD，结果为公差。最少数量等于：（最大值-最小值）/公差+1
3.2 Hankson的趣味题
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int n = scan.nextInt();
for(int i = 0;i<n;i++){
int a0 = scan.nextInt();
int a1 = scan.nextInt();
int b0 = scan.nextInt();
int b1 = scan.nextInt();
int count = 0;
for(int x = 1;x<=Math.sqrt(b1);x++){
if(b1%x == 0){
if(gcd(x,a0) == a1 && lcm(x,b0) == b1){
count++;
}
int y = b1 / x;
if (x == y){
continue;
}
if (gcd(y, a0) == a1 && lcm(y, b0) == b1){
count++;
}
}
}
System.out.println(count);
}
scan.close();
}
public static int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
public static int lcm(int a,int b){
return a/gcd(a,b)*b;
}
}3.3 最大比例
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
int num = scan.nextInt();
long arr[] = new long[num];
for(int i = 0;i<num;i++){
arr[i] = scan.nextLong();
}
Arrays.sort(arr);
long q = Long.MAX_VALUE;
long t0 = 0;
long t1 = 0;
for(int i = 0;i<num-1;i++){
if(arr[i+1]!=arr[i] && arr[i+1]/arr[i] < q){
q = arr[i+1]/arr[i];
t0 = arr[i];
t1 = arr[i+1];
}
}
long k = gcd(t0,t1);
System.out.println(t1/k + "/" + t0/k);
scan.close();
}
public static long gcd(long a,long b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
}3.4 GCD
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
long a = scan.nextLong();
long b = scan.nextLong();
long c = Math.abs(a-b);
System.out.println(c - a%c);
scan.close();
}
}根据更相减损术可以知道一个等式：gcd(a,b)=gcd(a,b-a) 当然这里的前提是a<=b; 所以gcd(a+k,b+k)=gcd(a+k,b-a) 这里的a和b都是已知的 我们可以设c=b-a 即c是已知的 所以想要使得a+k与c的最大公因子尽可能地大 因为最大最大能到达c 显然这个式子的最大gcd一定为 c ,我们只需要计算出a 最少需要增加多少可以成为 c 的倍数，这个增量即是答案k
