johnma2006/mamba-minimal: Simple, minimal implementation of the Mamba SSM in one file of PyTorch. (github.com)

manba的简单最小限度实现，和原始论文实现state-spaces/mamba (github.com)](https://github.com/state-spaces/mamba/tree/main)相比，为了可读性对参数没有很好的初始化，原论文用CUDA写了并行扫描，所以速度会快。
这里介绍Mamba Block的实现

参数和数据尺寸约定

之后的数据尺寸以(b, l, d_in) 或者(b, l, d_model, d_state)简单表示

参数及简写	Mamba论文简写
batch_size b	B
序列长度 l	L
隐藏维度 d / d_model
潜在状态维度 n / d_state	N
扩展因子 expand	E
d_in / d_inner	D
数据依赖步长 $\Delta$ / delta
delta秩 dt_rank

class MambaBlock

def forward

根据forward简单梳理MambaBlock的结构

中间变量	来源	shape
输入x		(b, l, d_model)
x_and_res	x经过输入映射后	(b, l, 2* d_in)
x	切分后作为ssm分支输入	(b, l, d_in)
res	切分后作为门控分支输入	(b, l, d_in)
y	经过卷积，激活，ssm，门控后的输出	(b, l, d_in)
output	y经过输出映射后得到	(b, l, d_model)

def forward(self, x):
  
        (b, l, d) = x.shape
        
        x_and_res = self.in_proj(x)  # shape (b, l, 2 * d_in)
        (x, res) = x_and_res.split(split_size=[self.args.d_inner, self.args.d_inner], dim=-1)

        x = rearrange(x, 'b l d_in -> b d_in l')
        x = self.conv1d(x)[:, :, :l]
        x = rearrange(x, 'b d_in l -> b l d_in')
        
        x = F.silu(x)

        y = self.ssm(x)
        
        y = y * F.silu(res)
        
        output = self.out_proj(y)

        return output
    

def __ int__

初始化主要初始了几个部分

组件定义

操作及简写	维度变换
输入映射 in_proj	(b, l, d_model) -> (b, l, 2*d_in)
序列变换 conv1d	只取前l (b, d_in, l) -> (b, d_in, l)
非线性激活 silu
输出映射 out_proj	(b, l, d_in) -> (b, l, d)

ssm初始化

操作及简写	作用
参数生成映射 x_proj	生成数据依赖的参数B, C, $\Delta$
delta映射 dt_proj	将 $\Delta$从dt_rank映射到d_in
矩阵A初始化	简单初始化
矩阵D初始化	简单初始化

def __init__(self, args: ModelArgs):

        super().__init__()
        self.args = args

        self.in_proj = nn.Linear(args.d_model, args.d_inner * 2, bias=args.bias)

        self.conv1d = nn.Conv1d(
            in_channels=args.d_inner,
            out_channels=args.d_inner,
            bias=args.conv_bias,
            kernel_size=args.d_conv,
            groups=args.d_inner,
            padding=args.d_conv - 1,
        )
        
         # ssm模型的初始化部分
         # x_proj takes in `x` and outputs the input-specific Δ, B, C
        self.x_proj = nn.Linear(args.d_inner, args.dt_rank + args.d_state * 2, bias=False)
        
        # dt_proj projects Δ from dt_rank to d_in
        self.dt_proj = nn.Linear(args.dt_rank, args.d_inner, bias=True)

        A = repeat(torch.arange(1, args.d_state + 1), 'n -> d n', d=args.d_inner)
        self.A_log = nn.Parameter(torch.log(A))
        self.D = nn.Parameter(torch.ones(args.d_inner))
        self.out_proj = nn.Linear(args.d_inner, args.d_model, bias=args.bias)

def ssm

这是我们数据处理流水线的搭建，这一部分是ssm模型参数定义，是ssm模型中相对于数据“不变”的部分。

SSM参数	shape	来源
状态矩阵A	(d_in, n)	在初始化中定义，非数据依赖
输入矩阵B	(b, l, n)	由x_db1切分而来，因此数据依赖
输出矩阵C	(b, l, n)	由x_db1切分而来，因此数据依赖
直接传递矩阵D	(d_in)	在初始化中定义，非数据依赖
数据依赖步长$\Delta$	(b, l, d_in)	由x_db1切分而来，因此数据依赖

其中一部分变量初始化于class MambaBlock的初始化部分

中间变量及简写	来源
数据生成变量 x_db1	x经过参数映射x_proj生成
最终delta $\Delta$	切分而来的$\Delta$经过映射和softplus

 def ssm(self, x):

        (d_in, n) = self.A_log.shape
        
        A = -torch.exp(self.A_log.float())  # shape (d_in, n)
        D = self.D.float()

        x_dbl = self.x_proj(x)  # (b, l, dt_rank + 2*n)
        
        (delta, B, C) = x_dbl.split(split_size=[self.args.dt_rank, n, n], dim=-1)  # delta: (b, l, dt_rank). B, C: (b, l, n)
        delta = F.softplus(self.dt_proj(delta))  # (b, l, d_in)
        
        y = self.selective_scan(x, delta, A, B, C, D)  # This is similar to run_SSM(A, B, C, u) in The Annotated S4 [2]
        
        return y

SSM参数	shape
状态矩阵A	(d_in, n)
输入矩阵B	(b, l, n)
输出矩阵C	(b, l, n)
直接传递矩阵D	(d_in)

def selective_scan

我们的数据流水线搭建好以后，接下来就要让它动起来，这一部分是数据处理的动态或者动力。

在这里，$A$使用ZOH零阶保持离散化，$B$则简化为欧拉离散化

前向欧拉离散化
$$\begin{array}{rl}{x}_k& \begin{array}{r}=(\mathbf{I}+{\Delta }_k\mathbf{A})x_{k-1}+{\Delta }_k\mathbf{B}\cdot u_k\end{array}\\ x(t+\Delta )& =(\mathbf{I}+\Delta \mathbf{A})x(t)+\Delta \mathbf{B}\cdot u(t)\end{array}$$

零阶保持离散化
$$\begin{array}{rl}{x}_k& =e^{{\Delta }_k\mathbf{A}}{x}_{k-1}+({\Delta }_k\mathbf{A}{)}^{-1}(e^{{\Delta }_k\mathbf{A}}-\mathbf{I})\cdot {\Delta }_k\mathbf{B}\cdot u_k\\ x(t+\Delta )& =e^{\Delta \mathbf{A}}x(t)+(\Delta \mathbf{A}{)}^{-1}(e^{\Delta \mathbf{A}}-\mathbf{I})\cdot \Delta \mathbf{B}\cdot u(t)\end{array}$$

这里selective_scan是顺序形式，因此与原论文CUDA编写的并行感知算法相比要慢

def selective_scan(self, u, delta, A, B, C, D):

        (b, l, d_in) = u.shape
        n = A.shape[1]
        

        deltaA = torch.exp(einsum(delta, A, 'b l d_in, d_in n -> b l d_in n'))
        deltaB_u = einsum(delta, B, u, 'b l d_in, b l n, b l d_in -> b l d_in n')
        
        # Perform selective scan (see scan_SSM() in The Annotated S4 [2])

        x = torch.zeros((b, d_in, n), device=deltaA.device)
        ys = []    
        for i in range(l):
            x = deltaA[:, i] * x + deltaB_u[:, i]
            y = einsum(x, C[:, i, :], 'b d_in n, b n -> b d_in')
            ys.append(y)
        y = torch.stack(ys, dim=1)  # shape (b, l, d_in)
        
        y = y + u * D
    
        return y